高中数学知识点复习资料归纳整理:等差数列

等差数列

考纲要求

1理解等差数列概念
2能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题
3了解等差数列与一次函数的关系.

4.灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题,认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.

5.掌握常见的求等差数列通项的一般方法;

6.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题

知识网络

考点梳理

【高清课堂:等差数列382420 知识要点

考点等差数列的定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.

要点诠释:

(1)}为等差数列(n∈N)

=d (n
2, n∈N) d为常数

(2)等差中项:若三个数a,x,b成等差,则x称为数a,b的等差中项。 任意实数a,b的等差中项存在且唯一,为

(3)证数列{}是等差数列的方法:

 

(n≥2)  d为常数

 

的等差中项。

考点二、通项公式

(归纳法和迭加法)

要点诠释:

①{}为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b  (n

)

式中

、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。

公式特征:等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数),一次项系数k为公差d。

几何意义:点(n,)共线;=kn+b中,

当k=d>0时,{}为递增数列;

当k=d<0时,{}为递减数列;

当k=d=0时,{}为常数列。

考点通项公式的性质:

1)等差中项:

成等差数列,则

(2通项公式的推广:

(3)若

,则

特别,若

,则

4)等差数列

中,若
.

【典型例题】

类型一:等差数列的概念、公式、项的性质

例1. (1)-20是不是等差数列0,

,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.

(2)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.

思路点拨题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项,关键是要看是否存在一正整数

值,使得等于这一数.

【解析】(1)由题意可知:

,

∴此数列的通项公式为:

,

,解得

所以-20不是这个数列的项.

(2)根据题意可得:

,

∴此数列通项公式为:

,
).

,解得:
,   

∴100是这个数列的第15项.

【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项

和公差
,写出通项公式
.

2.要注意解题步骤的规范性与准确性.

举一反三:

【变式1】求等差数列8,5,2…的第21项

【解析】

,∴
.

【变式2】求集合

的元素的个数,并求这些元素的和

【解析】

, ∴

,∴
中有14个元素符合条件,

又∵满足条件的数7,14,21,,98成等差数列,

.

2已知等差数列

中,
,
,试问217是否为此数列的项?若是说明是第几项?若不是,说明理由。

思路点拨判断某个数值是否为某数列中的项,基本的思路是先得到这个数列的通项公式,再验证这个数值是否为其中的某项。

【解析】法一:由通项公式,得

   

   ∴

解得
.

217是此数列的第61

法二:由等差数列性质得

,

    又

 

, 得
.

217是此数列的第61

法三:由等差数列的几何意义可知,等差数列的图象是一些共线的点,

    ∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上,

    ∴ 

,得

217是此数列的第61

总结升华在解决等差数列、等比数列的有关问题时,要熟悉其基本概念,基本公式及性质。

举一反三:

【变式1】等差数列

中,已知
a2+a5=4,an=33,则n(    )

A.48    B.49    C.50    D.51

【答案】C;

【解析】由已知

3若数列

为等差数列,
, 求

【解析】法一:令数列

的首项为
,公差为d,则

    

 即 

      解之有:

, 

.

法二:

,   

 90=10+30d   

,

     

.

法三:

为等差数列,
,

,
(nN).

     

    

解之有 

, 

.

法四:

为等差数列,

,…为等差数列,

    ∴ 

,  又

    

.

总结升华依条件恰当的选择入手公式,性质,从而简洁地解决问题,减少运算量。

举一反三:

【变式】若数列

为等差数列,
,且公差
 求

解析

为等差数列  ∴

又∵

 

是方程
的根

(舍去)

以下解法同例2(1

类型等差数列的判断与证明

【高清课堂:等差数列382420 典型例题三

4

为数列
的前n项和,且
.求证:数列
为等差数列.

思路点拨判断一个数列是否为等差数列,需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的,所以应该从前n项和的思路着手考虑。

证明:

,所以

整理得

,又得

相减并整理得: 

所以数列

是个等差数列

总结升华判断或证明数列是等差数列的方法有:

    (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;

    (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;

    (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;

    (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.

举一反三:

【变式】已知数列{an},anN*,Sn =

求证:{an}是等差数列;

【答案】an+1 = Sn+1Sn

,

∴8an+1 =

,

,

∵anN*,∴

,即

∴数列{an}是等差数列.

5.设{an}是等差数列,证明以bn=

(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.

思路点拨等差数列的概念是以递推关系的形式给出的,这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑

证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),

n≥2时,

=
-

=

 =

 =

 =

 (常数)

∴{bn}是等差数列.

证法二:等差数列{an}的前n项和

,

 ∴bn=

 ∴{bn}是等差数列.

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