引力悖论

2015.10.22 科学网张天蓉

引力理论的两个里程碑，分别由牛顿万有引力定律和爱因斯坦广义相对论为基础而建立。宇宙学中也分别有牛顿的宇宙模型以及现代物理中以大爆炸学说为代表的宇宙标准模型。

牛顿宇宙学认为宇宙是静态和无限的，并且遵循均匀各向同性的宇宙学原理。这种静态无限的传统宇宙观，看起来简单明了，似乎容易被人接受，但却也产生了不少佯谬，除了上一篇介绍的夜黑佯谬之外，还有引力佯谬，以及与热力学相关的热寂说佯谬等。

引力佯谬也叫本特利（Bentley）悖论^【1】，因为它最开始是由与牛顿同时代的一个年轻神学家本特利提出来的。

当年（1692年）的本特利刚刚30出头，年纪轻轻便担当重任，成为基督教的布道者。本特利感兴趣用牛顿的理论来反对无神论者，因为牛顿的体系符合基督教教义，揭示出了一个稳定、无限、和谐运转的宇宙。为此他写信向牛顿请教一个心中的疑问：如果宇宙是无限的，而重力又总是表现为吸引力，那么，所有物质最终应该被吸引到一起，无限大的引力将使得整个世界产生爆炸或撕裂。

在给本特利的回信中，牛顿承认自己的理论在这个问题上产生悖论，但他将答案交于上帝，牛顿在信中说：“需要一个持续不断的奇迹来防止太阳和恒星在重力作用下跑到一块儿。”，又说：“行星现有运动不仅仅由于某个自然的原因，而是来自于一个全能主宰的推动。”

引力悖论揭示出将重力理论应用到整个宇宙时所产生的矛盾。可以以地球为中心来分析这个问题。因为宇宙是无限的，类似于“夜黑佯谬”的说法，在任何一个方向，都有无限多的星球在吸引着地球，总引力的合力是无限大。不过，引力的情况与光照的情形有所不同的是，在与立体角相反的方向上，也有无限多的星球是在往反方向吸引地球。两个无限大的力相减，结果似乎不确定。

引力悖论也常常被称为西利格尔佯谬，得名于距牛顿200年之后的德国天文学家西利格尔（Seeliger，1849—1924）。西利格尔认为^【2】，即使两个相反对顶立体角的引力互相抵消了，可能使得合力为0，但场中的引力势也并不会为0，而是趋向无穷大。

数学上来说，既然宇宙从整体看来是均匀和各向同性的，那么，我们可以用一个均匀各向同性的实心物质球为模型来研究引力悖论。

将万有引力定律应用于实心球模型，解泊松方程并进行一些简单代数运算，在实心球的内部中心点，可得到引力的合力为0。但引力势并不为0，引力势与实心球的半径（即宇宙的半径R_宇宙）成正比，对无限宇宙而言，引力势便趋向无穷大，因而整个宇宙将是不稳定的，并很快塌缩。

按照当时人们的想法，维持一个静态而稳恒的宇宙很重要，因此，西利格尔曾试图修改牛顿引力公式来解决这个矛盾，可终究未能成功。广义相对论建立之后，也面临着同样的问题。这就使得爱因斯坦1917年在场方程中加进了宇宙常数一项，爱因斯坦以为这样就能得到宇宙的静态解。但就在同一年，荷兰物理学家德西特证明加上了宇宙常数的场方程不仅有静态解，也有动态解。再后来弗里德曼指出爱因斯坦的静态解是不稳定的，宇宙是膨胀的。爱因斯坦一开始怀疑弗里德曼算错了，直到哈勃的观测结果证实宇宙的确在膨胀，又感觉后悔莫及。

那么，宇宙到底是有限的还是无限的？开放的还是闭合的？

图6-1：三种宇宙模型

可以从由广义相对论导出的弗里德曼方程来探讨这一问题。根据弗里德曼的理论，宇宙的形状有三种可能性：开放、闭合、平坦，取决于宇宙的质量密度。更准确地说，是取决于宇宙的质量密度与临界质量密度的比值W₀（相对质量密度）。如图6-1右所示，临界质量密度：

r₀ =3H²/8pG

定义为当设定宇宙常数为0时产生平坦的弗里德曼度规的质量密度。以上r₀的表达式中，H为现在的哈勃参数，G是万有引力常数。这个临界质量密度大概是多大呢？据说大约是每立方米三个核子（质子或中子）。

图6-1左图表示大爆炸之后，由于质量密度的不同而形成了三种不同的宇宙演化模型。这些模型预测了宇宙的未来。当W₀>1的时候，说明宇宙中的物质足够多，将产生足够大的重力，在一定的时候将使宇宙停止膨胀，开始收缩，最后变成与大爆炸过程相反的大挤压，让宇宙回复到爆炸诞生时的炙热状态。反之，当W₀<1的时候，没有足够的质量产生足够的重力来使得物质保持在一起，因而宇宙将永无止境地膨胀，也有可能最终走向“热寂”。前面所述的这两种情况似乎都会使得人们对宇宙的未来忧心忡忡，尽管像是在杞人忧天，但大家总希望给宇宙一个好一点的结局。第三种平坦宇宙，对应于W₀=1，则介于上述两种情形之间。

我们的宇宙属于哪一种模型？实际上，直接测量与估算宇宙的平均密度复杂而困难，能够估算的，顶多也只是可见物质构成的星体对平均密度的贡献。反之，从现有的天文观测资料，天文学家们得到大范围内的宇宙是基本平坦的结论。这个平坦无限然而动态的宇宙图景，总算让人们心情舒畅了一些。

平坦宇宙需要满足（W₀=1），也就是说，总的物质密度要等于临界密度。但从观测资料得到的发光物质的密度不超过临界密度的1／10。加上看不见，但明显表现出引力效应的暗物质，能达到百分之二十几，仍然远远不够达到临界密度，剩下的便只好请“暗能量”先生来补充了。

在此澄清几点对大爆炸和无限宇宙的误解。一是大爆炸并不是发生在空间中的某一点，而是发生在三维空间的所有点。如果对空间曲率为0的平坦宇宙模型，即是发生在整个“无穷大空间”的时间奇点上。因为我们使用的是平坦三维空间宇宙模型，其空间曲率总是为零，但时空曲率不会总是0。实际上，在大爆炸发生时的那个奇点，时空曲率为无限大。三维空间虽然是平坦的，但温度却是无限高，质量密度无限大，爆炸发生在空间的每一点。大爆炸之后，时空膨胀，奇点转为正常的时空点。温度下降，质量密度降低，时空曲率减小（空间曲率始终为0），原来体积就是无穷大的宇宙空间继续不断膨胀。

另外，需要把宇宙可能的三种演化模型与“可观测宇宙”区别开来。无论宇宙模型预料的宇宙是有限还是无限，可观测宇宙总是有限的。就我们所知，根据对宇宙微波背景的观测，大爆炸理论估计的宇宙年龄大约为137亿年。而光传播的速度有限，因而我们可以观测到的宇宙范围是有限的。因为我们能够探测到的最早的光是某些星球在137亿年之前发射出来的，光波发射之后，这些星球（星系）与地球之间的空间又经过了137亿年的“膨胀效应”。根据宇宙膨胀的模型以及天文观测得到的哈勃参数，可以估算出这些星系现在离我们的距离。这个距离远远超过137亿光年，大约是465亿光年左右。

将这个距离（465亿光年）为半径，地球为中心，可作一个球面。球面包围的三维空间便是我们的“可观测宇宙”，球面是可观测宇宙的边界，称之为“视界”，或过去视界。

视界之外是什么？是“可观测宇宙”的延续，或许有限或许无限，根据图6-1中的W₀而定。虽然其中星球发射的光波暂时还到达不了地球，但它应该与我们能看到的宇宙部分大同小异，因为我们认为整个宇宙是处处均匀且各向同性的，这是宇宙学原理的基本假设。

既然视界之外的东西观测不到，何不让想象力尽量飞翔驰骋，也包括想象一个多宇宙的图景。多宇宙模型认为，除了我们可观测到的宇宙之外，还有许多个观测不到的其他宇宙“存在”。如果这个想象的模型对解释我们在“这个”宇宙得到的观测资料或者理论有帮助的话，又未尝不可呢？

参考资料：

【1】Bentley's paradox：

https://en.wikipedia.org/wiki/Bentley's_paradox

【2】Seeliger, AstronomischeNachrichtungen, 137 (1895), 129