1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象及性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象
0<a<1
a>1
图象特征
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减
增
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1
当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1
1．辨明三个易误点
(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．
(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.
(3)在解形如a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
2．指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
1. 有下列四个式子：
① ＝－8；②＝－10；
③ ＝3－π；④＝a－b.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [解析] ①④正确，＝|－10|＝10，②错误；
＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，故选B.
2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝3x
D [解析] 根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．
3．(2017·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
A [解析] 由f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝，知(1，1)不在y＝的图象上．
4．(2017·皖北协作区联考)函数f(x)＝的值域为________．
[解析] 由1－ex≥0，ex≤1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}．
所以0<ex≤1，－1≤－ex<0，0≤1－ex<1，
函数f(x)的值域为[0，1)．
[答案] [0，1)
5. 若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
[解析] 由题意知0<a2－1<1，即1<a2<2，
得－<a<－1或1<a<.
[答案] (－，－1)∪(1，)
指数幂的运算[学生用书P30]
[典例引领]
化简下列各式：
(1)0.027－－＋－(－1)0；
(2)·(－3a－b－1)÷(4ab－3)·.
【解】 (1)原式＝－72＋－1
＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝÷(2ab－)·ab
＝－a－b－·ab＝－b－1＝－.
化简下列各式：
(1)(0.027)＋－；
(2)·.
[解] (1)原式＝0.32＋－
＝＋－＝.
(2)原式＝
＝＝.
指数函数的图象及应用[学生用书P31]
[典例引领]
(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为( )
(2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．
【解析】 (1)函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．
(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．
【答案】 (1)A (2){0}∪[1，＋∞)
若将本例(2)变为函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？
[解] 由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．
指数函数的图象及应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[通关练习])
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
D [解析] 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝
ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
2．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．
[解] y＝＋m，
函数y＝的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.
指数函数的性质及应用(高频考点)[学生用书P31]
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．
高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)比较指数幂的大小；
(2)解简单的指数方程或不等式；
(3)研究指数型函数的性质．
[典例引领]
(1)(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
(2)已知a＝，b＝2－，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A．c<a<b B．b<a<c
C．a<c<b D．a<b<c
(3)已知函数f(x)＝.
①若a＝－1，求f(x)的单调区间；
②若f(x)有最大值3，求a的值；
③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解】 (1)选A.因为f(x)＝3x－，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－＝－3x＝
－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f(x)＝3x－在R上是增函数．故选A.
(2)选B.把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，>>，所以<<，即b<a<c.
(3)①当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
②令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
③令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由指数函数的性质知，要使y＝的值域为(0，＋∞)．应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.
有关指数函数性质的问题类型及解题策略
(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
[注意] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
[题点通关]
角度一 比较指数幂的大小
1．下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
B [解析] A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.
B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
所以0.6－1>0.62.
C中，因为0.8－1＝1.25，
所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.
D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.
角度二 解简单的指数方程或不等式
2．(2015·高考江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________．
[解析] 因为2x2－x<4，所以2x2－x<22，
所以x2－x<2，即x2－x－2<0，所以－1<x<2.
[答案] {x|－1<x<2}(或(－1，2))
角度三 研究指数型函数的性质
3．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
[解析] 因为f(x)＝2|x－a|，
所以f(x)的图象关于x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，
所以m≥1，故m的最小值为1.
[答案] 1
[学生用书P32]
——换元法解决指数型函数的值域问题
函数f(x)＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．
【解析】 因为x∈[－3，2]，若令t＝，则t∈.y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
所以函数f(x)的值域为.
【答案】
(1)此题利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2－t＋1，其中t∈，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
(2)对于同时含有ax与a2x(logax与logx)(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax(t＝logax)进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．
已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．
[解析] 设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，
故有－≥9，解得m≤－18.
所以m的取值范围为(－∞，－18]．
[答案] (－∞，－18]
[学生用书P265(独立成册)]
1．下列函数中值域为正实数的是( )
A．y＝－5x B．y＝
C．y＝ D．y＝
B [解析] A中，y＝－5x<0，B中，因为1－x∈R，y＝的值域是正实数，所以y＝的值域是正实数，C中，y＝≥0，D中，y＝，由于2x>0，故1－2x<1，又1－2x≥0，故0≤y<1，故符合条件的只有B.
2．化简4a·b÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
C [解析] 原式＝4÷a－(－)b－－
＝－6ab－1＝－，故选C.
3．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是( )
D [解析] 函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C项错误．
4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
A [解析] 由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
5．(2017·莱芜模拟)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
B [解析] 由f(1)＝得a2＝.
又a>0，
所以a＝，因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
6．(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C [解析] 当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，
因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；
当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，
所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3，1)．
7．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．
[解析] 设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，所以f(0)＝a0＝1.
且f(m)＝am＝3.
所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝.
[答案]
8. －(π－1)0－＋＝________．
[解析] 原式＝－1－＋(4－3)
＝－＋42＝16.
[答案] 16
9．(2015·高考山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
[解析] ①当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．
②当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.
[答案] －
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
[解析] 原不等式变形为m2－m＜，
因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，
所以≥＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
[答案] (－1，2)
11．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；(2)y＝ .
[解] (1)显然定义域为R.
因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
且y＝为减函数．所以≥＝.
故函数y＝的值域为.
(2)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2，
因为y＝3x为增函数，所以2x－1≥－2，即x≥－，
此函数的定义域为，
由上可知32x－1－≥0，所以y≥0.
即函数的值域为[0，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，a≠1，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
[解] (1)因为f(x)为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
所以－b≤2，b≥－2.
②当0<a<1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.
13．已知函数f(x)＝＋a的图象经过第二、三、四象限，g(a)＝f(a)－f(a＋1)，则g(a)的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1，2) D．(－∞，2)
A [解析] 因为函数f(x)＝＋a的图象经过第二、三、四象限，所以a<－1.则g(a)＝f(a)－f(a＋1)＝＋a－－a＝＝·.因为a<－1，所以>3，则·>2，故g(a)的取值范围是(2，＋∞)．
14．(2017·济南模拟)已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
[解析] 画出函数图象如图所示，
由图象可知要使a>b≥0，
f(a)＝f(b)同时成立，
则≤b<1.
b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)
＝b2＋b＝－，
所以≤b·f(a)<2.
[答案]
15．已知函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内递增，求a的取值范围．
[解] 函数y＝2－x2＋ax＋1是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．
因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，
所以函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减．
又因为函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上单调递增，所以3≤，即a≥6.
16．已知函数f(x)＝1－(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当x∈(0，1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．
[解] (1)因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，
所以f(0)＝0，即1－＝0.解得a＝2.
(2)因为y＝f(x)＝，所以2x＝.
由2x>0知>0，所以－1<y<1.
即f(x)的值域为(－1，1)．
(3)不等式tf(x)≥2x－2等价于
≥2x－2，即(2x)2－(t＋1)2x＋t－2≤0.
令2x＝u，因为x∈(0，1]，所以u∈(1，2]．
又u∈(1，2]时，u2－(t＋1)u＋t－2≤0恒成立．
所以解得t≥0.
故所求t的取值范围为[0，＋∞)．
