数学思想方法研究文献综述 教育科学学院 小学教育专业 070401005 陈艳婷 指导教师 苏明强 副教授 【摘 要】对有关文献的研究与分析结果显示，近年来我国所进行的关于数学思想方法的研究主要是从“数学思想方法的概念界定”、“数学思想方法的意义价值”、“数学思想方法的特征种类”以及“数学思想方法的应用策略”等方面进行论述。本文基于以上四个方面展开综述。 【关键词】：数学思想；数学方法；数学思想方法；文献综述 在数学教学过程中，教师在遵循数学本身知识规律、学生身心发展和认知规律的基础上进行数学思想方法的教学，不仅可以不断提高学生的一般科学与文化素质，而且可以形成和发展学生的数学品质，全面提高学生的素养。数学思想方法已越来越被广大数学教育工作者所关注，《全日制九年义务教育数学课程标准(实验稿)》在“总体目标”中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”[1]数学思想方法就这样被明确地列入数学教学的培养目标中，近年来，相关研究在不断深入和拓展，并成为一项独具特色而又富有深远意义的研究课题。 一、数学思想方法的概念界定 （一）数学思想、数学方法的概念界定 有学者认为：数学思想是指对数学知识和方法的本质认识，即对数学规律的理性认识。[2]有的认为：所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是解决数学问题的灵魂和根本策略。[3]还有的认为：数学思想，至今为止仍没有一种科学的界定，人们常用来泛指某些具有重大意义的、内容比较丰富、体系相对完整的数学成果。[4] 关于“数学方法”的概念，有学者认为：数学方法是指解决数学问题的根本程序，也是对数学思想的具体反映。[5]有的认为：数学方法是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具。[6]还有的认为数学方法是人们研究和解决数学的理论和问题所采用的方式、规则。[7] （二）数学思想方法的概念界定 对于数学思想方法的定义，不同的学者有不同的定义。 有学者从心理学的角度对数学思想方法作了如下定义：所谓数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。[8] 张茹华从数学内容与数学思想方法的相互关系的角度，指出：数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝，是学生未来发展的重要基础。[9] 还有学者从广义和狭义两个不同的角度来理解数学思想方法的定义，认为数学思想方法是从方法论的角度来研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现发明与创新等规律的一门学问。[10] 由此可见，数学思想与数学方法之间有着密切的联系。通过查阅大量相关的文章可以看出，人们对数学思想与数学方法之间的联系已基本达成了共识，认为运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度时，就会产生飞跃，从而上升为数学思想，数学思想对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想方法看成一个整体概念。 二、数学思想方法的意义价值 为什么要重视数学思想方法？不同学者从不同的角度对此作出了阐述。 有学者从现代数学教学观的角度认为：学习、掌握数学思想方法，是学生形成能力的必要条件，对于提高学生的数学素质和科学素质有着至关重要的作用。不重视或者淡化数学思想方法的教学不但不利于学生从高角度把握数学学科的基本结构，而且也不利于学生能力的形成与发展，影响数学素质的提高。[11] 陈百华从心理学的角度将数学思想方法的意义价值概括为：第一，从心理发展规律看进行数学思想方法教学是发展青少年思维的重要途径。第二，从学习的认知结构理论来看，进行数学思想方法教学对数学认识结构发展起着重要作用。［12］ 张茹华从数学思想方法的教学功能着手，揭示了数学思想方法的意义价值：第一，数学思想方法是教材体系的灵魂。在现行的数学教材中,无论是哪个版本都存在着两条主线:一条是明线即数学知识，一条是暗线即数学思想方法。第二，数学思想方法是教学设计的指导思想。一个好的教学设计，应当是历史上数学思想方法发生、发展过程的模拟和简缩。第三，数学思想方法是教学质量的重要因素。数学思想方法性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。［13］ 韩新社把数学思想和方法在数学教学中的重要作用归纳为：第一，有利于培养学生的创造性；第二，有利于传授知识与培养能力的有机结合；第三，有利于所学知识的迁移和应用。[14] 另外，还有学者认为：加强数学思想方法教学，是义务教育的需要，是优化数学认知过程的基本策略。[15] 笔者认为：重视数学思想方法在课堂中的渗透，对培养和提高学生数学学习能力起到了非常重要的作用。对比于形式化的数学知识，数学思想方法在学生未来的工作和生活中具有更加广泛的应用。 三、数学思想方法的特征种类 （一）数学思想方法的特征 朱成杰采用比较分析的方法，归纳出数学思想方法区别于数学知识的特征：第一，数学思想方法主要是指抽象概括、数形结合、数学模型、化归、分类、归纳猜想等，属于方法性知识；第二，数学思想方法常常以内隐的形式存在于概念、公式、法则、定理的形成过程和问题解决的过程之中；第三，数学思想方法的教学应结合数学知识发生发展的过程和问题解决的过程,采用多次孕育、逐步形成、应用发展的步骤进行。[16] 陈杨从数学思想方法的教学原理的角度将数学思想方法的特征归纳为：第一，阶段性。数学思想方法的学习需经历三个阶段，即模仿形式阶段、初步应用阶段、自觉应用阶段。第二，渗透性。数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。第三，反复性。学生对每种数学思想方法的认识从一个较长的学习过程看，都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。第四，系统性。与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体的功能。[17] （二）数学思想方法的种类 1、初中阶段数学思想方法的种类归纳： 对于初中阶段数学思想方法的种类归纳，各个时期的学者给出的结论各不相同。 1994年，陈捷给出的归纳为：（1）函数与方程的思想方法（2）数形结合的思想方法（3）分类讨论的思想方法（4）化归与转化的思想方法。[18] 1997年，王光明、张文贵给出的归纳为：（1）集合思想（2）化归思想（3）对应思想（4）符号化思想（5）公理化思想（6）极限思想。[19] 1997年，李红婷、刘朴厚、李建元给出的归纳为：符号化思想方法、化归思想方法、数形结合的思想方法、特殊化与一般化、分解与组合、构造法、类比、分类等。[20] 1998年，董翠珍给出的归纳为：（1）化归思想（2）分类思想（3）递进思想（4）函数与方程的思想（5）数形结合思想（6）对应思想。[21] 2001年，曹春青则将初中阶段的数学思想方法划分为三种类型：（1）技巧型，包括：消元、换元、降次、配方、待定系数等；（2）逻辑型，包括：分类、类比、完全归纳、综合、演绎、特殊化及反证法等；（3）宏观型，包括：字母代替数的方法、综合思想方法、数形结合的思想方法、函数、映射、对应的思想方法、化归的思想方法等。[22] 2001年，韩新社认为中学数学教学应使学生熟悉和学会的数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数型结合的思想方法、逻辑划分的思想方法、化归与转化的思想方法。[23] 由此可见，尽管初中阶段的数学思想方法受到了各个时期学者们的广泛关注，但是关于初中阶段数学思想方法的种类归纳，即使是同一时期的不同学者，也没能给出一致的结论。上述文献中被共同提及的数学思想方法有：数形结合的思想方法、化归与转化的思想方法。 2、小学阶段数学思想方法的种类归纳： 张茹华将小学阶段主要的数学思想方法的种类归纳为：（1）转化思想：将有待解决或未解决的问题转化为在已有知识的范围内可解决的问题；（2）类比思想：通过对形式、结构进行对比，找出其内在的联系，利用旧知识去学习新的知识；（3）统计思想：在统计初步知识中提炼并掌握一些处理数据的方法，并用来解决一些实际问题；（4）符号思想：用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容；（5）模型化思想：对现实问题从量的方面进行数学抽象，使用数学符号表达的数学对象成为数学模型并揭示数学对象本质特征和变化规律的方法；（6）一一对应思想:人的思维对两个集合间问题联系的把握。此外，张茹华认为：极限思想、数形结合思想方法、函数的思想方法、分类思想、抽象概括的思想方法、假设思想等也是在小学数学教学中蕴涵的数学思想方法。［24］ 丁建强认为小学数学中常见的数学思想方法有: （1）集合思想；（2）符号化思想；（3）转化思想；（4）数形结合的思想；（5）对应思想；（6）化归思想；（7）统计思想；（8）分类思想。[25] 曾华涛则认为小学数学思想方法主要包括：集合思想、符号化思想、数形结合思想、模型思想、函数思想、优化思想、统计思想、化归思想等。[26] 综上所述，学者们所公认的小学数学中比较重要的思想方法有：转化与化归、统计、符号化、模型化、对应等。 四、数学思想方法的应用策略 通过查阅大量文献笔者发现，在数学思想方法教学的方式上，无论对初中阶段还是小学阶段的教学，学者们达成共识的教学方式是渗透。至于如何渗透，不同学者有不同的看法： 丁建强认为，加强小学数学思想方法的渗透应该从以下几方面入手：第一、提高数学思想方法渗透的意识。主要包括（1）明确数学的思想方法对学生自身发展的重要性；（2）明确教师必需在吃透教材的基础上去领悟教材内容所隐含的思想方法,从而把握教材的实质。第二、掌握渗透数学思想方法的途径。主要包括(1)在知识的形成过程中渗透；(2)在问题解决过程中渗透；(3)在练习设计中渗透。第三、遵循数学思想方法渗透原则。主要包括（1）遵循由感性到理性、由抽象到具体、由特殊到一般的渗透原则；（2）注意渗透的长期性、系统性。[27] 叶桂萍认为，在小学数学教学中渗透数学思想方法应该注意以下几点：1、挖掘教材中能够渗透数学思想方法的因素；2、用直观的方法渗透数学思想方法；3、把握时机,适时渗透数学思想方法；4、精选习题,让学生主动发现数学思想方法。[28] 张茹华认为，小学数学思想方法的教学策略包含以下几点：1、在教学目标中明晰；2、在知识形成中落实；3、在训练中巩固；4、在概括总结中升华。[29] 曾华涛则认为，加强数学思想方法在小学中的渗透，教师应该着重把握以下几点：提高对教给学生数学思想方法重要性的认识，理解数学思想方法的实质；认真挖掘教材中的数学思想方法使其“化隐为显”；3、让学生主动参与教学过程；4、循序渐进。[30] 有学者对初中数学思想方法的教学策略提出了不同的看法：认为首先要提高渗透数学思想方法的意识；其次要把握渗透数学思想方法的契机；最后要注意形成体系。[31] 杨骞则认为，建立起与数学思想方法教育目的相对应的课程目标——教学要求——评价标准的运行机制，是实施初中数学思想方法教学策略的重要依据。首先，从实施数学思想方法教育的角度来考察数学课程；从实施数学思想方法教育的角度考察数学教学，把数学课程中所体现的数学思想方法这种“潜在”可能性转变为“直接”现实性；最后，依据“了解、理解、掌握、灵活应用”这四个层次的评价标准，明确不同的数学思想方法要求达到的各自的标准。[32] 刘征认为，教师对于初中数学思想方法的应用策略应注意以下几点：1、深入研究新教材；提高自身的数学史素养；帮助学生树立数学思想方法的概念；4、创设探索情境,使数学思想方法渗透进学生的实际生活中。[33] 陈百华认为，对于在初中数学中渗透数学思想方法，如下的几条重要途径是值得我们把握的：1、展开概念；2、延迟判断；3、激活推理；4、小结复习，揭示、提炼概括数学思想方法；5、抓好运用，不断巩固和深化数学思想方法。[34] 钟志华则认为数学思想方法理解的途径有：1、在丰富的数学活动中体验数学思想；2、在数学知识的探究过程中领悟数学思想；3、在数学方法的运用过程中升华数学思想；在数学思想的发展脉络中完善数学思想。[35] 五、综述反思 从查找的文献资料可以看出，近年来“数学思想方法”作为一个教育热点问题得到了国内诸多学者的广泛关注。但从研究成果来看，首先，大多数文献归纳缺乏科学性，如在一些文章中表述的是符号思想，而有些则是符号化思想。其次，系统地对小学数学思想方法进行的研究并不多，虽然能在中国期刑网上找到相应课题的文章，但数量较少，且关于小学数学思想方法的文章极少数发表在核心期刑上，理论依据缺乏权威性。最后，对于小学数学思想方法的研究，大多数研究停留在宏观的理论上的层次上，并没有深入到具体某项数学思想方法的更深层次的实践应用。介于此，笔者想以小学数学中某项思想方法为出发点作该思想方法在小学数学课堂中的应用的研究。其研究成果不仅可以深入挖掘该思想方法在小学数学课堂中的应用实例，为广大小学教师提供教学参考，而且能使该思想方法在小学课堂中更具有实际操作性。 参考文献： [1] 教育部.全日制九年义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001. 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