高考数学导数大题系列专题8：证明方程最小的解不小于0；适合高三学生备考以及高中老师备课使用

高考数学导数大题系列专题8。

已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ $e^{-x}$ －a，其中a是常数.

(1)证明不论a取何值，x＝0都不是f(x)的极值点；

(2)若a＞0，证明方程f(x)＝0最小的解不小于0.

第（1）问的解析：

(1)f(x)的定义域为(－a, ＋∞)

情况一：a≤0时，x＝0不在定义域中

则x＝0不是f(x)的极值点

情况二：a＞0时

f′(x)＝ $\frac{1}{x+a}$ － $e^{-x}$ ，则f′(0)＝ $\frac{1}{a}$ －1

①若a≠1，则f′(0)≠0

则x＝0不是f(x)的极值点

②若a＝1，则f′(0)＝0

此时f(x)的定义域为(－1, ＋∞)

f′(x)＝ $\frac{e^{x}-x-1 }{(x+1)e^{x}}$

令g(x)＝ $e^{x}$ －x－1 x∈(－1, ＋∞)

令g′(x)＝ $e^{x}$ －1＝0，解得：x＝0

在(－1, 0)上，g′(x)＜0，则g(x)递减，则：g(x)＞g(0)＝0，则f′(x)＞0，则f(x)递增

在(0, ＋∞)上，g′(x)＞0，则g(x)递增，则：g(x)＞g(0)＝0，则f′(x)＞0，则f(x)递增

则x＝0不是f(x)的极值点

综上，不论a取何值，x＝0都不是f(x)的极值点.

已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ $e^{-x}$ －a，其中a是常数.

(1)证明不论a取何值，x＝0都不是f(x)的极值点；

(2)若a＞0，证明方程f(x)＝0最小的解不小于0.

第（2）问的解析：

(2)本问等价于证明函数f(x)在区间(－a, 0)上没有零点

f′(x)＝ $\frac{e^{x}-x-a }{(x+a)e^{x}}$ x∈(－a, 0)

令k(x)＝ $e^{x}$ －x－a x∈(－a, 0)

k′(x)＝ $e^{x}$ －1

∵－a＜x＜0 ∴ $e^{x}$ ＜1

∴k′(x)＜0 ∴k(x)在(－a, 0)上单调递减

∴k(x)＞k(－a)＝ $e^{-a}$ ＞0

∴f′(x)＞0 ∴f(x)在(－a, 0)上单调递增

x→－a时，f(x)→－∞

f(0)＝lna＋1－a

令h(x)＝lnx＋1－x x∈(0, ＋∞)

令h′(x)＝ $\frac{1}{x}$ －1＝0得x＝1

在(0, 1)上，h′(x)＞0，则h(x)递增

在(1, ＋∞)上，h′(x)＜0，则h(x)递减

则h(x)的最大值＝h(1)＝0

则h(x)≤0

则f(0)≤0

则f(x)在(－a, 0)上无零点.

则方程f(x)＝0最小的解不小于0.

祝愿所有高三学生在充满收获的六月里，金榜题名，所向披靡，鹏程万里！不到最后一刻，乾坤未定，大家皆是黑马，追梦少年们加油！

专题会根据高考形势的变化不断更新和增加，加油！

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。