第4讲 万有引力与航天
高考考向1 解决天体问题的两个基本思路
1．将天体的运动看作匀速圆周运动，中心天体对它的万有引力作为转动所需要的向心力，即。但双星问题和椭圆轨道问题不符合此表达式。
2．物体所受重力和万有引力的关系：不考虑中心天体自转时，在中心天体表面，中心天体对物体的万有引力等于物体所受的重力，即或GM＝gR2(R、g和M分别是中心天体的半径、表面重力加速度和质量)，关系式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
例1 (2022·河北高考)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为( )
A． B．2
C． D．
[解析] 由万有引力提供向心力，有，解得行星绕恒星公转的线速度大小为。设太阳质量为M0，地球公转轨道半径为r0，则羲和的质量M1＝2M0，望舒的公转轨道半径r1＝r0，可知望舒与地球公转速度大小的比值为，故C正确。
[答案] C
例2 (2022·湖北高考)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是( )
A．组合体中的货物处于超重状态
B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
[解析] 组合体绕地球做匀速圆周运动，则组合体及其中的货物所受到的地球引力全部用来提供向心力，处于完全失重状态，A错误；第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知地球同步卫星的周期为24
h，则T组合体<T同步，根据ω＝，可知ω组合体>ω同步，C正确；由G＝mr＝ma，整理有，，由于T组合体<T同步，可得r组合体<r同步，则a组合体>a同步，D错误。
[答案] C
例3 (2022·山东高考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A． B．
C． D．
[解析] 对地球表面质量为m0的物体，有；根据题意可知，卫星的运行周期为，根据万有引力提供卫星运动的向心力，则有，联立解得，故选C。
[答案] C
例4 (2021·广东高考)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
[解析] 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，则，可知要计算地球的质量M，除引力常量G外，还要知道核心舱的绕地半径r及绕地线速度v、绕地角速度ω或绕地周期T中的一个。所以若已知核心舱的质量和绕地半径或已知核心舱的质量和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，不能计算出核心舱的绕地半径，也不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，可由M＝计算出地球的质量。故D正确，A、B、C错误。
[答案] D
1．(2022·山东省菏泽市高三下一模)2021年10月16日神舟十三号载人飞船顺利发射升空，翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员开启了为期6个月的天宫空间站之旅，在距地面大约395 km(相当于菏泽到日照的距离)的轨道上运行。在2021年12月9日下午的太空授课中，王亚平说他们一天刚好可以看到16次日出。已知地球半径为6370 km，万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，若只知上述条件，则不能确定的是( )
A．空间站的运行周期
B．空间站的加速度
C．地球的第一宇宙速度
D．空间站和地球之间的万有引力
答案 D
解析 一天刚好可以看到16次日出，则空间站的运行周期T＝，A不符合题意；空间站绕地球做匀速圆周运动，加速度可以确定，B不符合题意；由G＝m，可得地球的第一宇宙速度v0＝，又＝m0(R地＋h)，可得v0＝，C不符合题意；空间站和地球之间的万有引力等于空间站所受的合力，即F引＝m0a，a能确定，但因不知道空间站的质量m0，则F引不能确定，D符合题意。
2. (2022·山东省潍坊市高三下3月一模)“祝融”火星车由着陆平台搭载着陆火星，如图所示为着陆后火星车与着陆平台分离后的“自拍”合影。着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动，且已知火星质量约为地球质量的，火星直径约为地球直径的。则( )
A．该减速过程火星车处于失重状态
B．该减速过程火星车对平台的压力大于平台对火星车的支持力
C．火星车在火星表面所受重力约为其在地球表面所受重力的
D．火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为
答案 C
解析 着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动，加速度方向竖直向上，火星车处于超重状态，A错误；火星车对平台的压力与平台对火星车的支持力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，B错误；由mg＝G可知火星车在火星表面所受重力与其在地球表面所受重力之比为＝＝，C正确；由G＝m可知v＝，则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为＝＝，D错误。
3. (2022·湖南省衡阳市高三下二模)宇航员驾驶宇宙飞船绕质量分布均匀的一星球做匀速圆周运动，测得飞船线速度大小的二次方与轨道半径的倒数的关系图像如图中实线所示，该图线(直线)的斜率为k，图中r0(该星球的半径)为已知量。引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．该星球的质量为
B．该星球自转的周期为
C．忽略该星球的自转，该星球表面的重力加速度大小为
D．该星球的第一宇宙速度为
答案 C
解析 设宇宙飞船的质量为m，根据G＝m，得v2＝GM·，可知图线斜率k＝GM，则该星球的质量M＝，故A错误；由题中数据无法求解该星球自转的周期，故B错误；由题知该星球的半径为r0，忽略该星球的自转，根据＝m′g，可得该星球表面的重力加速度g＝＝，故C正确；由题图可得该星球的第一宇宙速度v0＝，故D错误。
4．(2022·江苏省南通市、泰州市高三下第二次调研)某卫星A在赤道平面内绕地球做圆周运动，运行方向与地球自转方向相同，赤道上有一卫星测控站B，已知卫星距地面的高度为R，地球的半径为R，自转周期为T0，地球两极处表面的重力加速度为g。求：
(1)卫星A做圆周运动的周期T；
(2)卫星A和测控站B能连续直接通讯的最长时间t。(卫星信号传输时间可忽略)
答案 (1) (2)
解析 (1)设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，有
G＝m·2R
对地球两极处表面质量为m0的物体，有
m0g＝G
联立解得T＝4π。
(2)如图所示，卫星A相对地面测控站B转过的角度超过2θ时，就不能直接通讯。设直接通讯的最长时间为t，则t－t＝2θ
由几何关系知cosθ＝
联立解得t＝。
高考考向2 卫星的变轨问题
求航天器变轨问题的四点注意
(1)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，在外轨道上的速度大于在内轨道上的速度。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(或半长轴)越大，机械能越大。
(3)航天器在同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道上的运行周期均满足开普勒第三定律
(4)航天器在同一椭圆轨道上的速度与到中心天体的距离成反比，即v1r1＝v2r2。
例5 (2021·天津高考)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器( )
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
[解析] 天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，是从高轨道进入低轨道，则应在P处减速，故C错误；天问一号探测器沿轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。
[答案] D
例6 (2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”( )
A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
[解析] “天问一号”发射后要脱离地球引力束缚，则发射速度要超过第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误；由题图可知，地火转移轨道的半长轴比地球轨道半径大，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”在地火转移轨道上运行的周期大于地球的公转周期12个月，因此从P转移到Q的时间大于6个月，故B错误；根据开普勒第三定律，并结合停泊轨道、调相轨道的半长轴大小关系，可知“天问一号”在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；“天问一号”在P点点火加速，做离心运动进入地火转移轨道，故在地火转移轨道上P点的速度比地球环绕太阳的速度大，即v地火P>v地，“天问一号”沿地火转移轨道到达Q点之后，要加速才能进入火星轨道，即v火＞v地火Q，根据v＝可知，地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，即v地＞v火，所以v地＞v地火Q，即“天问一号”在地火转移轨道上运动时并不是每一点的速度都比地球绕太阳的速度大，故D错误。
[答案] C
5. (2022·河北省邯郸市高三下一模)“神舟十三号”载人飞船与“天和”核心舱在2021年10月16日成功对接，航天员顺利进入“天和”核心舱。载人飞船和空间站对接的一种方法叫“同椭圆轨道法”，其简化示意图如图所示。先把飞船发射到近地圆形轨道Ⅰ，然后经过多次变轨使飞船不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨进入空间站轨道。Ⅱ、Ⅲ是绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕地球运行、很接近空间站轨道的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点，下列说法正确的是( )
A．在轨道Ⅲ上，载人飞船在Q点的加速度比在P点的加速度大
B．载人飞船在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期小
C．载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅳ上经过P点的速度
D．在轨道Ⅲ上，载人飞船在P点的机械能比在Q点的机械能大
答案 A
解析 根据G＝ma，可得a＝，则离地球越远，加速度越小，A正确；由开普勒第三定律可知，轨道半长轴越大，运行周期越大，B错误；载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点时需加速才能进入轨道Ⅳ，所以载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度小于在轨道Ⅳ上经过P点的速度，C错误；载人飞船在轨道Ⅲ上运行时机械能守恒，在Q点和P点的机械能一样大，D错误。
6．(2022·江苏省南京市、盐城市高三下二模)2021年5月16日至6月24日，运行在约555 km高度轨道上的“星链1095”卫星降轨至平均高度为382 km的近圆轨道上，后持续运行于这一与中国空间站相近的高度。在此期间，中国空间站采取了紧急避碰措施。关于卫星的降轨，下列说法正确的是( )
A．降轨前，卫星在原轨道上处于平衡状态
B．降轨时，卫星在原轨道上需要先行减速
C．降轨后，卫星在新轨道上运动周期变大
D．降轨后，卫星在新轨道上的速度将大于第一宇宙速度
答案 B
解析 降轨前，卫星在原轨道上做圆周运动，有向心加速度，则卫星在原轨道上不处于平衡状态，A错误；降轨时，卫星的轨道半径降低，则卫星先做近心运动，此时万有引力大于所需向心力，故卫星在原轨道上需要先行减速，B正确；根据万有引力提供向心力，则有G＝mr，解得T＝2π，由此可知，轨道半径越小，周期越小，故降轨后，卫星在新轨道上运动周期变小，C错误；根据万有引力提供向心力，则有G＝m，解得v＝，降轨后，卫星在新轨道上的轨道半径大于地球半径，则其线速度小于第一宇宙速度，D错误。
高考考向3 双星与多星问题
1．双星模型及特点
模型：两个天体只在彼此的引力作用下绕连线上一点做圆周运动 |
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动力学方程 |
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运动关系 | T1＝T2，ω1＝ω2 |
轨道半径关系 | r1＋r2＝L， |
周期和角速度大小 |
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系统总质量 |
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2.多星系统
(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
(2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。
3．拉格朗日点问题
处在地月拉格朗日点处的卫星，其周期与月球公转周期相同，向心力为地球和月球对卫星的万有引力的合力；处在日地拉格朗日点处的卫星，其周期与地球公转周期相同，向心力为太阳和地球对卫星的万有引力的合力。
双星系和多星系问题的解题步骤
(1)确定星球受几个万有引力，所受万有引力的合力充当向心力。
(2)找清楚天体之间的引力距离，确定天体运动的轨道半径。
(3)求出天体之间的万有引力，列出牛顿第二定律方程，进行计算。
例7 (2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
[解析] 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
[答案] BC
7．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
答案 D
解析 在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A错误；由周期T＝知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π，B错误；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C错误；对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝ma，得a＝，D正确。
8．(多选)2021年3月15日13时29分，嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下成功被日地拉格朗日L1点捕获，这也是我国首颗进入日地L1点探测轨道的航天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的3个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，会在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．飞行器在L1点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度
B．飞行器在L1点处于平衡状态
C．飞行器A在L1点绕太阳飞行的动能小于飞行器B在L2点绕太阳飞行的动能
D．飞行器A在L1点绕太阳飞行的角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度
答案 AD
解析 飞行器在L1点与地球同步绕太阳做匀速圆周运动时，由an＝ω2r可知，飞行器的轨道半径小于地球的轨道半径，故其绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度，故A正确；飞行器在L1点绕太阳做匀速圆周运动，合力不为零，不处于平衡状态，故B错误；由v＝ωr可知，飞行器A在L1点绕太阳飞行的线速度小于飞行器B在L2点绕太阳飞行的线速度，但两飞行器的质量关系不明确，故它们的动能关系不能确定，故C错误；飞行器只要在日地拉格朗日点，均与地球同步，故飞行器A在L1点绕太阳飞行的角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度，故D正确。
专题作业
选择题(本题共13小题，其中第1～6题为单项选择题，第7～13题为多项选择题)
1．(2022·河北省秦皇岛市高三下三模)2022年4月16日，我国在太原卫星发射中心发射了一颗大气环境监测卫星，该卫星将推动我国在生态环境、气象、农业农村等领域的遥感应用。若用F表示该卫星在发射过程中到地心距离为x处时所受万有引力的大小，则下列图像中，可能正确的是( )
答案 D
解析 该卫星到地心距离为x处时所受万有引力的大小F＝，其中G为引力常量、m为卫星的质量、M为地球的质量，图像与x的平方成反比，故A、B错误；上式两边取对数有lnF＝ln (GMm)－2ln x，图像斜率为负数，故C错误，D正确。
2．(2022·广东高考)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
答案 D
解析 由题意可知，火星公转的周期比地球的大。设太阳的质量为M，根据G＝mr可得r＝，可知火星公转的半径比地球的大，故C错误；根据G＝m可得v＝，结合上述分析，可知火星公转的线速度比地球的小，故A错误；根据ω＝，可知火星公转的角速度比地球的小，故B错误；根据G＝ma可得a＝，结合上述分析，可知火星公转的加速度比地球的小，故D正确。
3．(2022·浙江6月选考)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则( )
A．天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B．返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C．质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
答案 C
解析 由万有引力提供向心力，有G＝m，可得v＝，可知天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越小，故A错误；返回舱中的宇航员处于失重状态，但仍然受到地球引力作用，地球引力提供宇航员绕地球做圆周运动的向心力，故B错误；由A项分析知，只要环绕速度相同，返回舱和天和核心舱就可以在同一轨道运行，与返回舱和天和核心舱的质量无关，故C正确；返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做负功，返回舱的机械能减小，故D错误。
4．(2022·北京市东城区高三下三模)2021年10月16日，载有3名航天员的神舟十三号载人飞船进入太空，这将首次考核并验证航天员长期在轨驻留空间站能力。已知空间站在离地高度约为400 km的圆形轨道飞行，则下列说法正确的是( )
A.载人飞船在加速升空阶段宇航员处于超重状态，宇航员受万有引力比在地面时大
B．空间站的桌面上放一个玻璃杯，两者相对静止，此时玻璃杯对桌面没有压力
C．与离地高度约为36000 km的同步卫星相比，空间站做圆周运动的加速度更小
D．宇航员在空间站外面检修时若松手手中的工具，工具将会落向地面
答案 B
解析 载人飞船在加速升空阶段因加速度向上，则宇航员处于超重状态，根据F＝G可知，宇航员所受万有引力比在地面时小，A错误；空间站内相对静止的物体均处于完全失重状态，则空间站的桌面上放一个相对静止的玻璃杯，此时玻璃杯对桌面没有压力，同理，在空间站外的工具也不会因松手就落向地面，B正确，D错误；根据a＝可知，与离地高度约为36000 km的同步卫星相比，空间站做圆周运动的加速度更大，C错误。
5. (2022·浙江省温州市高三下三模)有一种新型人造卫星，叫绳系卫星。它是通过一根金属长绳将卫星固定在其他航天器上，并以此完成一些常规单体航天器无法完成的任务。现有一航天器A，通过一根金属长绳在其正下方系一颗绳系卫星B，一起在赤道平面内绕地球做自西向东的匀速圆周运动。航天器A、绳系卫星B以及地心始终在同一条直线上。不考虑稀薄的空气阻力，不考虑绳系卫星与航天器之间的万有引力，金属长绳的质量不计，下列说法正确的是( )
A．正常运行时，金属长绳中拉力为零
B．绳系卫星B的线速度大于航天器A的线速度
C．由于存在地磁场，金属长绳上绳系卫星B端的电势高于航天器A端的电势
D．若在绳系卫星B的轨道上存在另一颗独立卫星C，其角速度大于绳系卫星B的角速度
答案 D
解析 设金属长绳中拉力为F，由题可知O、B、A始终在一条直线上，且A、B运行的角速度相等，则对A有G＋F＝mAω2rA，对B有G－F＝mBω2rB，则F＝GM·>0，故A错误；根据v＝ωr可知，绳系卫星B的线速度小于航天器A的线速度，B错误；在赤道处的地磁场由南向北，金属长绳由西向东切割磁感线，根据右手定则可知，金属长绳上绳系卫星B端的电势低于航天器A端的电势，C错误；若在绳系卫星B的轨道上存在另一颗独立卫星C，对卫星C有＝mCω′2rB，与－F＝mBω2rB比较可知，ω′>ω，D正确。
※6.(2022·山东省淄博市高三下三模)如图甲所示，为南京紫金山天文台展示的每隔2 h拍摄的某行星及其一颗卫星的照片。小齐同学取向左为正方向，在图甲照片上用刻度尺测得卫星相对该行星球心的位置L如图乙所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图甲照片上测得行星的直径为2 cm，万有引力常量为G＝6.67×10－11N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A．该卫星围绕行星运动的周期为T＝24 h
B．该卫星围绕行星运动的周期为T＝32 h
C．该行星的平均密度ρ＝5×103kg/m3
D．该行星的平均密度ρ＝5×105kg/m3
答案 C
解析 由题图甲、乙可知，该卫星围绕行星运动半圈的时间为24 h，故做匀速圆周运动的周期为T＝2×24 h＝48 h，故A、B错误；由G＝mr，行星的体积V＝πR3，行星的密度ρ＝，联立得ρ＝·，由题知R＝1 cm×k，r＝10 cm×k，代入数据得ρ＝5×103kg/m3，故C正确，D错误。
7. (2022·湖南高考)如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是( )
A．火星的公转周期大约是地球的 倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小
答案 CD
解析 根据开普勒第三定律可知＝，火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，即r火＝1.5r地，可得T火＝T地，故A错误；根据G＝m，可得v＝，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星公转的线速度小于地球公转的线速度，所以在冲日处，火星相对于地球由东向西运动，即地球上的观测者观测到火星的运动为逆行，故B错误，C正确；由于火星和地球公转的线速度大小均不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
8．(2022·辽宁高考)如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动，在地面上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm∶sin βm
D．水星与金星的公转线速度之比为
答案 BC
解析 根据万有引力提供向心力，有G＝mr＝ma，可得T＝2π，a＝，因为水星的公转半径比金星的小，可知水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为r水，地球的公转半径为r地，当α角最大时有sinαm＝，同理可知sinβm＝，所以水星与金星的公转轨道半径之比为r水∶r金＝sinαm∶sin βm，故C正确；根据G＝m可得v＝，则v水∶v金＝∶＝∶，故D错误。
9．(2022·福建省福州市高三下3月质量检测)2021年2月15日17时，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功实施“远火点平面轨道调整”。如图为该过程的示意图，图中虚线轨道所在平面，与实线轨道所在平面垂直。探测器由远处经A点进入轨道1，经B点进入轨道2，经C点进入轨道3，再经C点进入轨道4，上述过程仅在点A、B、C启动发动机点火，A、B、C、D、E各点均为各自所在轨道的近火点或远火点，各点间的轨道均为椭圆。以下说法正确的是( )
A．探测器在轨道3的运动周期大于在轨道4的运动周期
B．探测器从轨道3经过C点的加速度小于从轨道4经过C点的加速度
C．探测器在B点变轨后机械能增加
D．探测器在B点变轨前的速度大于变轨后的速度
答案 AD
解析 由于轨道3的半长轴大于轨道4的半长轴，根据开普勒第三定律＝k，可知探测器在轨道3的运动周期大于在轨道4的运动周期，A正确；根据牛顿第二定律可得G＝ma，由于探测器在轨道3和轨道4经过C点时到火星中心的距离相等，故探测器从轨道3经过C点的加速度等于从轨道4经过C点的加速度，B错误；由题图可知，探测器在B点变轨后，轨道半长轴变短，可知在B点变轨后速度减小，机械能减小，C错误，D正确。
10. (2022·山东省淄博市高三下一模)2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船成功发射，搭载着王亚平等3名航天员与天宫号空间站顺利对接。3位航天员进入空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光。如图所示，王亚平在A点测出她对地球的张角为2θ，OA与太阳光平行，下列说法正确的是( )
A．空间站距地面的高度为
B．空间站的运行周期为
C．航天员每次经历“日全食”过程的时间为
D．航天员每天经历“日全食”的次数为
答案 AC
解析 设神舟十三号载人飞船的轨道半径为r，由几何关系知sinθ＝，则空间站距地面的高度为h＝r－R＝－R，故A正确；根据万有引力提供向心力，有＝m，联立解得空间站的运行周期为T＝，故B错误；飞船绕地球一圈会有一次“日全食”，因此，一天内航天员经历“日全食”的次数为n＝＝，D错误；
如图所示，飞船在间时经历“日全食”，由图可知，航天员每次经历“日全食”的过程飞船转过α角，由几何关系可知α＝2θ，则航天员每次经历“日全食”过程的时间为t＝T＝，故C正确。
※11. (2022·天津市河西区高三下二模)中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RA<RB；C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，且T2<T1。A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则( )
A．恒星A的质量大于恒星B的质量
B．恒星B的质量为
C．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
D．三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为
答案 AB
解析 因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得MARAω＝MBRBω，则＝，即恒星A的质量大于恒星B的质量，故A正确；对恒星A可得G＝MA，解得恒星B的质量为MB＝，故B正确；对卫星C有G＝m，可见无法求出卫星C的质量，故C错误；由题可知，A、B、C三星由图示位置到再次共线所用的时间Δt满足ω2Δt－ω1Δt＝π，且ω1＝，ω2＝，解得Δt＝，故D错误。
※12. (2021·福建高考)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120 AU(太阳到地球的距离为1 AU)，S2的运行周期约为16年。假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出( )
A.S2与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．S2在P点与Q点的速度大小之比
D．S2在P点与Q点的加速度大小之比
答案 BCD
解析 设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率0.87＝＝，且由题知，Q与O的距离约为120 AU，即a－c＝120 AU，联立可解得a与c。由开普勒第三定律＝k可知，当S2以致密天体为圆心、以a为半径做匀速圆周运动时，其运动周期与S2的实际运动周期相等，对绕致密天体做匀速圆周运动的S2，由万有引力提供向心力得G＝mS2a·，对地球围绕太阳运动，有G＝m地r日地，式中r日地＝1 AU，TS2＝16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，但不能得出S2与银河系中心致密天体的质量之比，故A错误，B正确；根据开普勒第二定律有vP(a＋c)＝vQ(a－c)，解得＝，因a、c已求出，故可以求出S2在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；S2不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有G＝mS2a加，解得a加＝，因P点到O点的距离为a＋c，Q点到O点的距离为a－c，解得＝，因a、c已求出，故可以求出S2在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。
※13.2018年6月14日11时06分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日L2点的Halo使命轨道的卫星，为地月信息联通搭建“天桥”。如图所示，该L2点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为Me、Mm、m，地球和月球之间的平均距离为R，L2点离月球的距离为x，不计“鹊桥”对月球的影响，则( )
A．“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
C．x满足
D．x满足
答案 AC
解析 根据题意可知，“鹊桥”与月球运动的角速度相等，“鹊桥”中继星绕地球转动的半径比月球绕地球转动的半径大，根据线速度v＝ωr可知，“鹊桥”中继星绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大，故A正确；根据向心加速度a＝ω2r可知，“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大，故B错误；中继卫星的向心力由月球和地球引力的合力提供，则有＋＝mω2(R＋x)，对月球而言，则有＝Mmω2R，两式联立可解得＋＝(R＋x)，故C正确，D错误。
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