当我们考虑量子引力的时候，广义相对论预言的大爆炸时宇宙会被无限压缩成的无穷小的点就消失了。量子引力发现无穷小的点不存在，空间的可分性有个下限。宇宙不能比普朗克尺度还小，因为比普朗克尺度还小的东西不存在。
如果我们忽略量子力学，就忽略了这个最低限度的存在。在广义相对论预言的不正常的情境中，理论给出了无穷量，被称为“奇点”。量子引力为无穷设置了限度，“治愈了”广义相对论中不正常的奇点。
同样的事情也发生在黑洞的中心：只要我们把量子引力考虑在内，传统广义相对论预期的奇点就消失了。
还有另一种不同的情况，其中量子引力为无穷设定了限度，而它涉及的是力，比如电磁相互作用。由狄拉克创立并由费曼和他的同事在20世纪50年代完成的量子场论很好地描述了这些力，但其中充斥着数学上的荒谬。当我们用它计算物理过程时，经常会得到毫无意义的无穷大的结果，这被称为“发散困难”。发散困难随后通过计算得以消除，通过一种巴洛克式的技术过程，最终得到了有限的数字。实际上这很有效，最终得到的结果也是正确的，再现了实验测量的结果。但是为什么理论必须要经过无穷才能得到合理的数字呢？
在生命的最后几年，狄拉克对他理论中的无穷非常不满，他觉得，他还没有真正理解事物的运作方式。狄拉克热爱概念的明晰，虽然在他看来一目了然的东西也许对其他人并不那么明显。但是无穷并不会带来明晰。
但是量子场论的无穷是由理论的一个基础假设产生的：空间的无限可分。例如，要计算一个过程的概率，我们会对这个过程可以展现的所有方式求和——像费曼教给我们的那样——而这是无穷的，因为它们可以发生于空间连续体无穷多个点中的任何一个。这就是出现无穷的结果的原因。
当把量子引力考虑进来时，这些无穷就会消失，原因很明显：空间不是无限可分的，没有无穷多的点；没有无穷多的东西可以加起来。空间的分立离散结构解决了量子场论的困难，消除了让人苦恼的无穷大。
这是个不可思议的结果：一方面，把量子力学考虑进来解决了由爱因斯坦引力理论的无穷大产生的问题，即奇点。另一方面，把引力考虑进来解决了量子场论产生的问题，即发散困难。两个理论之间远没有最初看起来的那样矛盾，它们彼此为另一方提出的问题提供了解决办法。
为无穷设定限度在现代物理学中是个反复出现的主题。狭义相对论也许可以总结为发现了一切物理系统都存在一个最大速度。量子力学可以总结为发现了每个物理系统都存在信息的最大值。最小的长度是普朗克长度Lp，最大速度是光速c，信息的总和由普朗克常数h决定。这些内容总结在表格11.1里。
表11.1 理论物理学发现的基本极限
长度、速度、作用量的最小值和最大值的存在确定了单位的自然系统。我们可以用光速的一部分测量速度，来取代千米每小时或米每秒。我们可以把光速c规定为数值1，比如说写出v=1/2，来描述以光速一半的速度运动的物体。同样，我们可以通过定义来假定，以普朗克长度的倍数测量长度。我们可以假定h=1，以普朗克常数的倍数来测量作用量。用这种方式，我们拥有了其他物理量遵循的基本单位的自然系统。时间的单位是光走完普朗克长度所需的时间，等等。自然的单位常用于量子引力的研究。
这三个基本常数的确定为自然看似无穷的可能性设置了限度，这表明我们称之为无穷的东西只不过是我们尚未计算或理解的内容。我认为这总体上是正确的。“无穷”根本上是我们给予尚未了解之物的名字。自然似乎在告诉我们，没有什么是真正无穷的。
还有另一个无穷迷惑了我们的思考：宇宙在空间上的无限广延性。但正如我在第三章中阐述的，爱因斯坦已经找到了思考有限无界宇宙的方式。目前的测量表明，宇宙的大小肯定比一千亿光年要大。这是我们无法直接触及的宇宙的数量级。它大约是普朗克长度的10120倍，1后面跟着120个零。在普朗克尺度和宇宙尺度之间，有令人震惊的120个数量级。巨大，极其巨大，但是有限。
在这一空间内——从微小的空间量子尺度，到夸克、质子、原子、化学结构、高山、星体、星系（每个星系由上千亿颗恒星组成）、成群的星系，一直到超过一千亿星系的看似无边无际的可见宇宙——显示了宇宙极端的复杂性，我们只了解这个宇宙的几个方面。巨大，但有限。
我们理论的基本方程中的宇宙常数值可以反映宇宙的尺度。因此基本理论包含了非常大的数字：宇宙常数和普朗克长度的比值。是这个巨大的数字开启了通向世界巨大复杂性的道路。但我们所发现与理解的宇宙并不是可以沉浸其中的无限。它是一片辽阔的海洋，但有限。
《德训篇》或《西拉书》[50]的开篇提出了一个惊人的问题：
海沙、雨点和永远的日子，谁能数清？天之高，地之宽，渊之深，谁又能测量？
这些文字创作之后不久，另一伟大的篇章被谱写出来，其开篇被传颂至今：
希罗王，有人认为，沙子的数目是不可数的。
这就是阿基米德《数沙者》的开篇，其中古代最伟大的科学家正在数宇宙中沙粒的数目！
他这样做是为了证明沙粒的数量非常大但有限，可以确定。古代许多系统并不能处理非常大的数字。在《数沙者》中，阿基米德发展了一种新的计数系统，与我们的指数很相似，并且计量了（当然是开玩笑性质的）不只是沙滩上有多少沙子，而是整个宇宙沙子的数目，展示了这个方法的威力。
《数沙者》像是在开玩笑，但意义深远。凭借比启蒙运动早大约一千年的想象力，阿基米德对某种认识做出了反抗，这种认识坚持认为存在一些人类思想本质上无法触及的奥秘。他没有宣称确切地知道宇宙的维度，或者沙子的具体数目。他主张的不是知识的完备性，正好相反，他十分清楚他估算的近似性和暂时性。他谈到宇宙真实的大小有哪些可能，但没有做出明确的选择。重要的不是假设我们通晓一切，而是相反：意识到昨天的无知可能被今天阐明，今天的无知可以被明天照亮。
要点在于对放弃求知欲的反抗：宣告我们相信世界是可以被理解的，骄傲地回击那些满足于自己无知的人，那些把我们不了解之事称为无限、把知识置于他处的人。
许多个世纪过去了，《德训篇》的文本与《圣经》的其他部分可以在无数人家中找到，然而阿基米德的文本只有少数人读过。阿基米德被洗劫锡拉库扎（Syracuse）的罗马人杀害，他是大希腊倒在罗马车轭下的最后一人，那时正值那个未来帝国的扩张，它很快就要采纳《德训篇》为其官方宗教的基础文本之一，会统治那里超过一千年。那一千年间，阿基米德的计算在一种不可理喻的环境下失去了活力：没有人能够使用它们，更别提理解它们了。
在离阿基米德的锡拉库扎不远处，是意大利最美的地方之一——陶尔米纳剧场，它面向地中海和埃特纳火山。在阿基米德的时代，剧场里经常上演索福克勒斯（Sophocles）和欧里庇得斯（Euripides）的戏剧。后来因古罗马人以看角斗士搏斗至死为乐，被改作了角斗士的搏斗场。
《数沙者》中精妙的玩笑也许不只是大胆创新的数学构造，或是古代最杰出头脑之一的精湛技艺。这也是一次理性反抗的呐喊，认识到自己的无知，但是拒绝把知识的来源交给他人。这是一个反对无限，反对蒙昧主义的渺小，克制而有力的智慧宣言。
量子引力是继承《数沙者》追求的众多方式之一。我们正数着构成宇宙空间的微粒。巨大的宇宙，但是有限。
唯一真正无限的是我们的无知。
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