——初中数学“实践与综合应用”的实践与探索
董林伟
摘要：本文从课程理解层面探讨了初中数学课程领域中“实践与综合应用”的意义、内涵及数学教育价值，着重介绍了在数学教材建设、课堂教学、评价方式、教学资源建设等方面为实现该课程内容与目标的一些思考与做法，为广大初中数学教育教师提供了一定的实践经验和理论指导。
关键词：实践与综合应用；教材；课堂教学；评价方式
《义务教育数学课程标准》（实验稿）（以下简称“标准”）在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”三个知识领域之外创设了数学“实践与综合应用”的第四个领域，反映了数学课程与教学改革的要求，也提供了学生进行一种实践性、探索性和研究性的学习的课程渠道。数学“实践与综合应用”是一个全新的内容，对课程的实践者是一次严峻的挑战。我省广大初中数学教育工作者对此高度关注，他们满怀热情，积极投身到数学“实践与综合应用”的学习实践活动之中，在学习研究中提高认识，在开发课程内容和教学活动中进行实践与探索，在全省形成了良好的研究实践氛围，积累了初步的实践经验，为新课程实验的进一步推进与深化奠定了良好的基础。
一、 加强学习，提高认识，奠定思想和理论基础
“实践与综合应用”是一个义务教育阶段数学课程的一个全新的领域，加强对这部分课程的学习研究，教师才能准确把握课程的意义、内涵与特点，才能体会该领域的教育价值和目标，才能够在领域的教学实践活动中保持正确的方向。
1、了解课程设置的意义
一个新生事物必定是在一定的社会背景下产生的，不了解动因就很难理解其存在的意义。在数学课程中增设“实践与综合应用”领域，我们的理解是源于以下的三个方面：
首先，我国的数学课程通常被分成几个独立的领域：数、代数、几何、统计与概率，在各个领域中又被分成若干个单独的部分，各部分按各自的体系基本上以直线的结构发展，相互联系不多，综合就更少了，在这种体系下，学生学习了一些孤立的概念和方法，没有形成数学整体观。因此，使学生建立起数学各领域间的联系就显得十分必要。
其次，一项研究表明，学生是否对数学持积极态度，最重要的因素之一就是数学的内容是否对自己有用，包括在生活中、数学和其他学科中。设置“实践与综合应用”的领域，沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系，使得有机会综合运用所学的数学知识去解决身边的问题。
再者，新的历史时期要求基础教育要在教学过程中培养学生的创新意识和实践能力，因此，应加强数学学习的实践性、探索性，让学生接触到一些有研究和探索价值的题材和方法，提供认识数学的用途、探索数学概念之间内在联系、综合应用所学知识和方法解决问题的机会。
2、把握课程内涵与特点
《标准》在第三学段中“实践与综合应用”领域是以“课题学习”为主题，强调以研究性学习为标志的学习方式。这部分内容的总体要求是：帮助学生综合运用已有的知识与经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。
“实践与综合应用”的设置，加强了数学与外部世界的联系；加强了数学内容之间的联系；加强了数学知识、方法、生活经验、思维方式等的综合应用。
3、研究课程的教育价值
在《标准》中，“实践与综合应用”已进入数学学习的范畴，它反映了新一轮课程改革的理念，体现了新课程的价值追求。研究该课程的教育价值，才能在教学中有效地进行贯彻落实。经过多年的学习、研究与实践，逐步形成了对该领域的教育价值的理解：
（1） “实践与综合应用”要求学生从生活、社会现实中提出问题，围绕人与自然、人与社会、人与自我、人与文化等方面，深入自然情景、社会背景或社会活动领域，开展探究、社会参与性的体验、实验等学习活动，由此可以形成对自然、对社会、对自我的整体认识，发展良好的情感、态度和价值观。
（2）“实践与综合应用”实施过程中需要学生亲自实践，并在实践中多角度地思考；需要学生互相合作，并在合作中准确表达各自的想法；需要学生不断尝试，并在尝试中寻找策略或提出新的问题；需要学生运用各种工具（包括技术手段），并且对这些工具进行合理地选择；需要学生互相鼓舞，共同完成任务。因此，“实践与综合应用”的开设，必将给学生的学习方式带来根本性的改变。
（3）“实践与综合应用”要求教师在教学过程中结合实际情境，引导学生独立思考、合作研究，设计解决具体问题的方案，并加以实施，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。并通过反思、总结、交流，进一步积累数学活动经验。因此，“实践与综合应用”的学习过程，体现了“数学地思考”和“再创造”的思想，能有效促进学生创新意识的形成；通过对有关问题的探讨，学生不仅了解所学过知识之间的关联，加深对有关知识的理解，同时也发展了学生的应用意识和能力。
（4）“实践与综合应用”领域的设置，也为教科书的改革提供了新的思路。数、式、方程、函数、图形、表格、图象等不同的数学表达方式之间具有内在的联系，教材编写时，可以根据它们之间的相互联系重新构建新的课程体系，充满联系和综合的教科书的面貌将会发生根本性的改变。
二、 努力实践，积极探索，积累课程实践经验
我省自2002年起逐步进入新课程的实验，在两轮课改的实验过程中，我们针对新开设的“实践与综合应用”领域进行了有益的研究、实践与探索，在教材建设、课堂教学、教学评价等方面进行了一些尝试。
1、 在数学教材中充分体现“实践与综合应用”领域的相关内容和要求
2001年9月，在江苏省教育厅的领导和组织下，由省教研室与江苏科学技术出版社组织《标准》编写组的专家牵头成立新课程初中数学教材编写组，于2002年3月申报编写，2002年6月教基材室[2002]37号函“同意立项编写”，编写的《义务教育初中数学实验教科书》（以下简称“苏科版”教材）经全国中小学教材审查委员会审定，分别于2003年10月、2004年9月初审通过，“可供义务教育课程标准实验区使用”。
基于对新课程“实践与综合应用”领域的理解，教材编写组一直致力于将其内涵与要求有机融合在教材之中，逐步形成了江苏教材的特色之一：
（1）以“生活·数学”、“活动·思考”为主线
教材遵循《标准》的理念，以“生活·数学”，“活动·思考”为主线展开课程内容，既注重创设情境，增强教学过程的活动性、连贯性、逻辑性，又注重在情境中展示数学知识产生和形成的过程，力求“生活化”与“数学化”的结合，形式与内容的统一。引导学生在活动中思考，感受生活与数学的联系，感受知识的价值，获得“情感态度”方面的体验。
（2）整合课程内容，创新结构体系
该教材打破原来以学科划分的知识体系，跨领域整合“数与代数”和“空间与图形”的部分内容，以独特的视角编写了不同于其他教材的“从面积到乘法公式”、“勾股定理与平方根”及“数量和位置的变化”等内容独特的三章，力图使教材既符合学生的认知规律，又特色鲜明不失科学性。
以运动、变化的观点审视传统几何内容，融合演绎推理与合情推理，将“空间与图形”的内容整合成“四块”，把相关知识纳入新体系。
尝试把一次函数、一元一次方程方程、一元一次不等式的内容进行了初步的整合；在二次方程、二次函数的内容中也关注类似的“整合”，探索沟通代数主干内容之间联系的途径。
整合学科领域内的传统知识内容，使相关知识的联系更加紧密、流畅。例如，因式分解是整式乘法的逆变形，与整式乘法密切相关，将其作为对多项式乘法的再认识，安排在乘法公式之后。这样的安排有利于引导学生对因式分解的实质和算理的理解，有利于发展学生逆向思考问题的意识和推理能力，掌握多项式因式分解的基本方法——提取公因式法和应用公式法（平方差公式、完全平方公式）。
（3）注重学生“做”数学，引导学生自主探索、积累活动经验
设置丰富多彩的栏目，吸引学生“做”数学。除课文中的“做一做”、“练一练”等栏目外，还设置了“数学实验室”、“数学活动”、“课题学习”等栏目及章头活动等吸引学生“做数学，通过“做“感受数学本质。
运用现代信息技术，引导学生“做”数学。运用适当的计算机软件，如Excel，几何画板等，会给人们的运算、探索活动带来方便，为给有条件的学校和会计算机操作的学生提供学习机会，教材尝试用“阅读”和“数学实验室“的方式给以指导，不作统一要求。
设计基础性、趣味性、挑战性的作业，让学生喜欢“做”数学。每节课文中的习题和课内练习都显示了其基础性，每章的复习题则较多的体现了它的层次性和挑战性，有些习题并不作统一要求。例如，有理数一章中的“探索研究”就具有一定的趣味性、游戏性与挑战性。
（4）注重“过程”和“数学思想方法”。“过程”是丰富多彩的，往往隐含了基本数学思想、体现数学的价值；结论是重要的，但结论的获得离不开过程。因而，对于那些较好地体现基本数学思想的教学内容，教材适度地展开了过程。比如，展开有理数加法、乘法法则规定的过程，引导学生感受分类、归纳等基本思想；用有理数近似地估计一元二次方程根的过程，引导学生感受“逼近”的思想；“选举环保小卫士”的活动过程，引导学生经历“收集数据、处理数据、做出决策”统计的全过程……等。教材在“阅读”栏目中，除了介绍一些数学史料和知识性的内容外，注重对渗透在“过程”中的基本数学思想，加以简要的介绍。比如，本套教材先后提供了“分类”、“归纳”、“转化”、“类比”、“互逆变形”、“全等变换”、“相似变换”……等阅读材料，以帮助学生学会“数学思考”。
广大教师能否真正理解《标准》的理念，并且把这种理念转化为教学行为，是课程改革取得成功的重要保证。编者在教材编写过程中，通过以上这些措施与方法，将“实践与综合应用”领域努力体现在教材之中，力求使本套教材成为《标准（实验稿）》的理念与教学实践之间的“桥梁”。
2、 在课堂教学中努力实现“实践与综合应用”的教学目标与教育价值
“实践与综合应用”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，其教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识。
（1）学习问题的选取——体现应用性与综合性
在实践与综合应用活动中，问题是关键。在选材上，我们力图使问题与学生的生活密切相关，选择来源于自然、社会其他学科和数学内部能够实践的活动，体现数学的应用性，从而激发他们探索与创造的兴趣。选取的问题努力体现一定的综合性，促使学生综合运用所学的知识、方法、经验、思维方式等解决问题，启发学生进行多种思考和创造；
（2）教学内容的呈现——注意探究性与层次性
选取了好的问题材料，如何设计围绕问题主题的展开过程也显得非常重要。我们尽可能地使问题呈现方式具有一定的探索性和研究性，让学生经历一个实践、探索和研究的历程；具有一定的开放度、解决问题的多样化等；有一定的层次性，注意到不同层次学生活动方式与能力的差异，激发学生的活动兴趣，才能为全体学生提供深入探究和创造的机会，并能发展他们的钻研精神。
（3）学习活动的展开——注重主体性与实践性
学生是学习的主体，这一特点在实践与综合应用活动中更为突出，它要求实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。
我们在教学中突出“动”和“用”两个字，引导学生在活动中思考，在实践中应用。在教学活动中，给学生以探索的空间（任何指向很明确的、“路标式”的、漫无边际的探索不是高效的）和适当的时间，让学生用自己的思考、策略去解决问题。对探索有困难的同学，教师可以给予适当地指导，使其积极参与进来，防止学生之间产生分化。通过这样的活动过程，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。
（4）教学模式的选择——呈现多样性和灵活性
根据“实践与综合应用”领域的特殊性，我们根据实践活动的具体内容呈现的多样性，采取了灵活的教学模式：采用丰富的实践活动的形式，包括观察、实验、操作、调查、分析、交流和总结等；实践活动的场所可以在课堂上完成，也可以课内外相结合；问题的来源也可以是学生从实践活动的过程中发现新的问题，学生可以通过查阅相关的资料，寻找自己感兴趣的问题提出问题；活动的主体可以是个人，也可以以小组的形式开展活动；活动的课题可以是长期的（如一个学期的），也可以是短期的（如一个教学单位时间甚至其中的一节课中的一个教学环节）。在教学中，我们不仅关注学生获得的结果，更关注学生解决问题的过程和情感体验，发挥组织者、引导者、合作者的作用。
3、 积极探索评价方式的改革，积累经验、寻求突破
数学综合实践活动是学生在教师引导下，在已有知识体验的基础上，从所熟悉的现实生活中发现、选择和确定问题，主动应用知识解决问题的学习活动。是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的数学学习活动。由于数学综合实践活动自身的特点，在这个学习领域中更有利于实现评价功能从甄别选拔向激励发展的转变。
（1）为了便于教师组织学生开展各章的“数学活动”，苏科版初中数学教材设计了“数学活动评价表”，以引导教师注重过程性评价，关注学生在活动过程中情感、态度、价值观方面的发展，克服在评价中只关注知识技能的倾向。
根据活动内容与活动形式的不同，数学活动评价表的内容也有所区别，但一般包含以下几个方面：活动主题、活动的组织形式、活动过程、结果及分析、小组评价、自我评价等。
（2）尝试“表现性评价”方式：通过学生完成实际的、与数学密切相关的实际任务的过程，来表现学生在学习方面的发展与成就的评价。
表现性评价将综合来自于四个方面的材料——自我评价、老师眼中的你（来自老师的评价）、同学眼中的你（来自同学的评价）、家长眼中的你（来自家长的评价）。无论是对来自哪方面的评价者，活动过程中资料积累特别重要，包括：采访记录、调查到的数据、随笔、心得、活动中产生的一个问题等。内容包括：活动态度（积极性、主动性）；各种能力（收集处理信息、计划和组织、解决困难和问题、与人沟通和表达、合作和团队精神、思维能力和创造力）；对数学和其它主要涉及的学科知识的理解、掌握情况；你的研究结果及你的自我评价。
表现性评价，是对学生完成一个实际任务的过程的考查与评价。因此，通过表现性评价，可以比较全面地了解学生的发展状况，评价出学生多方面的表现，评价出不同学生的不同发展。
（3）尝试通过一些中考命题改革促进实践与综合应用的推进
作为《课程标准》提出的一个新的课程目标，学生从事实践与综合应用的学习活动的过程已经进入中考考查的视野。具体来说，主要考查的以下几个方面的指标：一是数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度以及从事探究等活动的意识、能力和信心等；二是能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；三是能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。这类问题可以设计一个“做数学”的活动，或者是猜测与证明一个数学规律，或者是设计一个解释现象（问题）特征的数学模型，或者是寻找一个解决问题的途径、方案。需要考生通过实验操作、类比归纳、探究猜想、验证结论来积累和获得基本的数学活动经验，在此经验基础上获得对问题的解决，应该说这是中考评价改革的命题趋势.
试题内容与形式的设计包括：以实验操作为主体，考查将实际问题数学化的能力；以实践活动为载体，考查学生学习活动的过程；以画图剪拼为媒体，考查学生数学思考的水平。
4、 加快资源建设，为学校开展实践与综合应用活动提供有效帮助
由于“实践与综合应用”领域是一个全新的内容，学校在实施过程中缺少资源，缺少有效的指导。苏科版初中数学教材组依据《全日制义务教育数学课程标准》和苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》，编写了《数学综合与实践活动》材料，提供给教师用于指导学生动手操作实践的活动。
《数学综合与实践活动》在落实《全日制义务教育数学课程标准》中“实践与综合应用”这一领域的课程目标，力求与苏科版初中数学教材融为一个有机的整体，进一步强化教材“做”数学的特点，为学生提供“做”数学的材料，充分体现以“生活·数学”、“活动·思考”为主线的编写理念。在编写内容上，既有生动有趣的数学探究活动，又有丰富内涵的研究性课题学习；在呈现方式上，既有以动手操作为主的数学实验，又有以动脑思维的思辩研究；在目标设置，既有经历实验、操作、猜想、验证等过程性目标，又有体现发现、提出、分析和解决问题的结果性目标。
每个课题由“活动准备”、“活动内容”、“活动创新”、“活动收获”、“相关链接”5个板块绘成，可以在教师的指导下课堂上完成，也可以作为学生数学课外活动的辅导材料。
“活动准备”主要列出每个课题活动所需要的材料，或者需要提前做好的调查、分组、资料查阅等准备工作。
“活动内容”主要阐述活动的具体步骤，是活动设计的主体。有的只设计1个活动，有的设计围绕主题的2—3个活动，并且以“问题串”的形式设计有关活动思想，旨在帮助同学们多角度、多方位地寻求解决问题的方法，形成基本的活动经验。
“活动创新 ”主要是在“活动内容”基础上的延伸与拓展，在思维层次上比以前者更高，留给学生活动思考的空间更大，帮助同学们形成合作探究的良好活动习惯。
“活动收获”主要是对本课题活动所揭示的一般规律、所渗透的数学思想方法、所获得的活动经验等的陈述性总结，同时，留空白处让同学们写出自己的活动所得，与同伴交流并分享活动成果。
“相关链接”主要是与活动主题有关或与本章节知识内容相关的一引起数学史料、问题背景、经典活动的介绍等，旨在给同学们提供阅读资源，扩大知识面，激发同学们科学探究的欲望
《数学综合与实践活动》是目前国内首部的数学综合实践指导用书，目前在全省各地区几百所学校起始年级有3万多学生在使用，受到广大使用的教师与学生的广泛欢迎。
三、 认真反思，找准问题，不断充实与完善实践与综合应用课程体系
经过广大数学教育工作者的共同努力，“实践与综合应用”在我省已经形成了一定的实践和研究氛围，积累了初步的经验，并取得了一定的阶段成果。但在实验过程中仍然有许多关键问题没有得到很好的解决，在实验过程中也不断生成许多新的问题需要研究。例如“如何选取供适合学生活动的问题”、“如何根据学生三年的成长过程整体设计课程内容”、“课程的教学形态”、“适应课程的评价方式”等。
《标准》（修改稿）即将面世，该领域也作了部分的调整与修改，需要我们进一步学习与研究。为此，2007年底我们成立了《动手“做”数学——“数学实验”课程的设计与开发》的省级重点教学研究课题组。通过本课题的研究，在新的课程的理念与教师的教学行为之间驾起一座桥梁，践行新课程的核心任务“努力转变教的方式与学的方式”，积累活动经验，培养学生的创新意识与实践能力。有效地设计和组织数学综合实践活动，使初中数学“实践和综合应用”领域的实施得以具体化、科学化，彰显苏科版初中数学教材编写者的意图，在理论和实践层面提供可资借鉴的、可供推广的、有价值的研究成果，进一步深化我省初中数学课程改革，努力达成基础教育课程改革的终极目标
主要参考文献：
《全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）》解读 北京师范大学出版社
《义务教育课程标准初中数学实验教科书》 江苏科学技术出版社 杨裕前 董林伟主编
《数学课程设计》 高等教育出版社 刘兼等
《数学综合与实践活动》1-5册 江苏科学技术出版社 杨裕前 董林伟主编
《实现数学课堂教学有效性的思考与建议》 中学数学月刊07年第6期 董林伟
《和谐教育：以人为本的教育愿景》 江苏教育研究（理论版）08年第11期 董林伟
《当前数学教学值得关注的几个观念问题》 中国数学教育08年第9期 董林伟
《论开展“数学实验”研究与实践的意义与方法》 中学数学月刊07年12期 董林伟
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