空间几何体表面积和体积计算（三）推导球体、台体的表面积和体积公式

1 现在来推导台体表面积、体积公式。我们以圆台为例：

首先是它的表面积：

因为不同台体的底面和侧面会各有变化，所以没有统一的公式可供记忆，只需根据实际情况进行相应的计算即可。

体积公式：

台体实际上是由锥体截取而成，我们先把台体补全为一个锥体，这样台体的体积就等于大圆锥体积减去小圆锥体积，如上图：

我们利用相似三角形，把小圆锥的高度用已知的台体高度来表示：

整理后这样：

把它代入体积公式整理后就可以得到：

多项式整理是个细致的活，不能着急，耐心点就成。采用同样的方法，棱台的体积也符合上述公式，所以我们可以得出结论：

2球体的体积和表面积公式

我们依旧用一点微积分的知识，来推导球体的体积公式，这种方法比祖堩原理推导起来更为线性，也就是说好理解，路子是现成的，容易走，这个过程中不需要那种只有聪明人才能想出来的技巧。

我们可以把球体分为上下两个半球，以上半球为例：

如果把半球体从上往下切成n个薄片儿，只要n足够大，每一个薄片都可以近似地看成一个圆柱体，如上图。

这个小的圆柱体的高度h=R/n，半径为r。

这个小r可以采用勾股定理用球体的半径以及薄片所在的位置表示出来，比如我们可以写出从上往下数第m片的半径：

这样，我们第m个小圆柱体的体积就可以写成这样：

现在我们只需要把这些小圆柱的体积加起来，然后让n 趋于无穷大，就可以得到这个上半球的体积：

我们现在来看加和部分：

将它代入体积：

由此我们得到球的体积公式：

同样的思想，我们可以在球表面用纵横切割的办法，将球体切割成n份；因为足够小，在球表面上的每一份，都可以看成一个小的平面。如果以这个小的平面为底，以球的半径为高，就可以得到一个底面积为S，高度为R的棱锥，它的体积可以写成：

只要n足够大，我们把这些小的棱锥加起来，它们的体积就和球的体积相同：

所以：

也就是：

这样我们就会得到球的表面积公式：

总得来说，采用这种极限分割，然后求和、求极限的方式，推导球的体积和表面积公式，思路较为清晰、流畅，用不到什么技巧，按部就班地去做就行了。

这其实才是数学发展的根本目的，用稳定、成熟、可知的步骤，去解决看起来很麻烦的实际问题，不用费脑筋去想什么技巧。

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