基本不等式、均值不等式链、代数式的最大最小值(一)
它表达的意思是:任何数的平方,如果和0比较高下的话,都不会落下风。此时,对a,b取正值还是负值都没啥要求,上式都成立,反正只有a=b的时候,才能等于0。此时,对a,b的取值也没有特殊要求,依旧是取什么值上式都能成立;当且仅当a=b的时候,上式才能取等号。如果两个数一大一小,大数的平方加上小数的平方,肯定不小于一大一小交叉相乘然后再相加的和。总是出现的“当且仅当”四个字,就是指两个命题之间互为充分必要条件,在题目的推导计算中,有时可以用双箭头代替。当a,b都是非负实数时,公式可以写成下面的这种样子:当a,b都是负数时,(-a),(-b)都是正数,它们也是满足上式的:两个非负实数的算术平均值,总是不会小于二者的几何平均值。
左侧是两个非负实数之和的一半,称为算术平均值,右侧称为二者的几何平均值。继续讲究点的话,可以把两个非负实数的平方平均值以及调和平均值一起加入这个不等式,形成一个均值不等式链:用文字表达更容易记忆:对于两个非负实数a,b,它们的上述公式的证明也很容易,可以通过任意实数的平方不小于0推导出来,也可以把上面不等式链两两作差完成证明。其实,任意不等式的证明,理论上都可以通过做差来完成,区别只是在于证明过程的简便程度而已。我们有时可以根据上述不等式链的取等条件,计算出某些代数式的最大最小值。意味着:只有当a和b相乘是一个定值实数C的时候,两者相加a+b才会有最小值。同时也意味着:只有当a+b是定值C的时候,二者相乘ab才能取到最大值。如果a,b均为正值,且a+b=10,求ab的最大值。1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24,、5×5=25、6×4=24…..理解某些数学公式的时候,如果同时给出一些几何上的直观经验,那么这个公式就很容易得到认同,记忆也会非常深刻。不过,高中数学中考察基本不等式的题目,考察的真正方向并不是上例中这种利用定值去求取目标代数式的最大最小值,它实际上是利用定值做表面上的掩护,本质上却要求对目标代数式的代数结构进行降幂或者升幂处理,从而把目标代数式中变量的幂次调整为0,最终得到最大最小值(实数值)。很明显,目标代数式中变量的次数都是-1次,只要变量的次数不为0,理论上就不可能出现确定的实数值,那就谈不上有什么最大最小值。我们必须想办法把-1次幂升为0次幂,才可以看到确定的实数。如何升幂呢?从-1到0,只需和变量的一次幂相乘就可以:这种小技巧,在中学会被称为进行“1”的代换,其实质就是对代数结构进行重构处理,从而获得确定的实数值。
本站仅提供存储服务,所有内容均由用户发布,如发现有害或侵权内容,请
点击举报。