基本不等式、均值不等式（二）求最大最小值的本质是将目标代数式幂次归0

求一个代数式的最大最小值，究其本质，就是想办法把含有变量的代数式的幂次归0，只有这样，这个代数式才有可能变身为一个实数。

如果它的幂次不为0，那它依旧是一个代数式，除非给它赋值，否则，它不会变成一个实数。

将代数式的幂次归0的方法有多种，基本不等式环境下常采用“1”的代换，如上篇短文中的例子：

目标代数式中变量x、y幂次为-1，那么我们就把条件中的（x+y）乘进去，使得变量的-1次幂归一为0，从而求得目标代数式最小值：

更为常用的办法是凑型。

因为基本不等式本身就有将变量的幂次自我归化为0的特质，所以，我们可以利用它的这个特点，把题设条件和目标代数式都变形为符合基本不等式的型式，从而完成目标代数式幂次的自我归0。

我们来看：

意思是说：只有当a和b相乘是一个定值实数C的时候，两者相加a+b才会有最小值。

也就意味着：两个变量a、b，相乘之后幂次归0，成为一个实数，从而使得带有幂次的a+b取得最小值。

我们将上面的思想扩展一下:

既然a×b=c的时候，a+b可以取得最小值，那么（a+m）×（b+n）=k的时候，（a+m）+（b+n）也会满足：

上式看起来也是很顺眼的！

我们来看一个凑型的例子：

将条件改造一下：

所以：

接下来要做的计算就是当且仅当：

凑型的原则是首先观察目标代数式出现在均值不等式链的哪一个环节，从而获得凑型基本方向的信息。

本例中求x+y的最小值，那就考察给定的条件中是否存在xy相乘是定值的信息？如果直接相乘没有，那（x+p）（y+q）能不能得到定值？如果能，则（x+p）+（y+q）就存在最小值。

再来看一个例子：

目标代数式中变量的幂次分别为2、-2、-2，这给我们一个提示，它们相乘就可以将幂次归化为0。

只要观察到这一点，事情就好办了，将代数式变形，使得它们之间能够相乘，且相乘之后的次数为0.

现在只有三项，我们可以变为两两配对的四项：

剩下的工作就是解决“当且仅当”的问题了：

当且仅当下式成立时，上式取等。

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