冲刺2018年高考数学, 典型例题分析4：导数综合问题

已知f（x）=（2+lnx2）/x．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若不等式ex（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，求a的取值范围．

考点分析：

导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．

f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．

求可导函数单调区间的一般步骤和方法

1、确定函数f(x)的定义域；

2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

题干分析：

（1）利用导函数的符号判断函数的单调性，求解单调区间即可．

（2）由不等式ex（2x3﹣3x2）﹣lnx﹣ax＞1恒成立，得到ex(2x2-3x)-a＞(lnx+1)/x

恒成立，设g(x)=ex(2x2-3x)-a，h(x)=(lnx+1)/x

求出g’(x)=ex(2x2+x-3)=ex(2x+3)(x-1),h’(x)=-lnx/x2

利用函数的单调性求出函数的最值，即可求解a的范围．