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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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定角定高三角形周长最小值试题的
几个漂亮解法和一般性结论
四川成都郑朋源 陕西渭南魏拴文
甘肃省兰州市 王 冰 湖北阳新邹生书
湖北省阳新县高级中学 邹生书编辑整理
1.问题的提出：三角形周长最小值问题
16.已知M,N是直线3x 4y-10=0上两点，O为坐标原点，若∠MON=600，则∆MON的周长的最小值为＿＿＿＿＿
【说明】这是武汉市2020届高中毕业生五月质量检测理科数学第16题。
2.问题的转化：定角定高三角形周长最小值问题
分析：显然题目明摆着一个定角∠MON=600，另外，本题还隐藏着另一个定值——定高。由点到直线距离公式易知三角形的顶点O到对边MN的距离为定值2，由此可见，这是一个解析几何搭台的平几最值问题。这个问题就是经典的三角形定角定高三角形周长最小值问题，于是问题转化为：
【题目】在∆MON中，若∠MON=600，边MN上的高OH=2,求∆MON的周长的最小值。
3.问题的解决：三个漂亮解法
解法1：用余弦定理和均值不等式求解
郑朋源提供
解法2：化折为直 巧作外接圆 用几何法求解
魏拴文提供
如图，在直线MN上截取MA=MO,NB=NO，
连接OA,OB.作∆OAB的外接圆，
设圆心为D,半径为r,连接DA,DB.
过点D作DE垂直AB于点E.
设点F是弦AB所对优弧上一点，连接FA,FB.
由MA=MO知∠OMN=2∠OAB,
同理∠ONM=2∠OBA,
所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200，
所以∠OAB ∠OBA=600，所以∠AOB=1200,
则∠AFB=600，从而∠ADB=1200,则∠ADE=600，
所以DE=0.5r.
因为OH⊥AB, DM⊥AB,所以OH DE≦OD,
即2 0.5r≦r,解得r≧4,所以AB=√3r≧4√3,
当点H与点M重合时等号成立，
此时OA=OB可得OM=ON时等号成立。
而AB=AM MN NB=OM MN ON,
故∆MON的周长的最小值为4√3.
解法3：化折为直 正切函数 权方和不等式
甘肃省兰州市 王 冰 提供
延长NM至A使MA=MO, 延长MN至B使NB=NO,
连接OA,OB. 过点O作直线MN的垂线，垂足为H,
由点到直线距离可得OH=2.
由MA=MO知∠OMN=2∠OAB,
同理∠ONM=2∠OBA,
所以∠OMN ∠ONM =2(∠OAB ∠OBA)=1200，
所以∠OAB ∠OBA=600，
设∠OAB=θ，则∠OBA=600-θ。
于是∆MON的周长为
L=OM MN ON=AM MN NB=AB=AH HB
4.定角定高三角形周长最小值问题的一般性结论
【命题】在∆MON中,∠MON=θ为定角,底边MN上的高OH=h为定高,则当OM=ON时三角形周长最小.
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