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同济大学数学系《高等数学》(第6版)(上册)笔记和课后习题详解

第1章 函数与极限

1.1 复习笔记

一、映射与函数

1.集合

(1)集合概念

集合(简称集)是指具有某种特定性质的事物的总体,组成这个集合的事物称为该集合的元素(简称元)。常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合的元素。

如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A;如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a

A。

一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集。

(2)表示集合的方法通常有以下两种:

列举法,就是把集合的全体元素一一列举出来表示;

描述法,若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的,就可表示成M={x|具有性质P}。

(3)常见的集合

空集,指不包含任何元素的集合,记为φ;

非负整数集,全体非负整数即自然数的集合,记作N,即N={0,1,2,…,n,…};

正整数集,全体正整数的集合,记作

,即
={1,2,3,…,n,…};

整数集,全体整数的集合,记作Z,即Z={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…};

有理数集,全体有理数的集合,记作Q,即Q={

∈z,q∈
且P与q互质};

实数集,全体实数的集合,记作R,R为排除数0的实数集,

为全体正实数的集合。

(4)集合的关系

包含关系

设A、B是两个集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作A

B(读作A包含于B)或B
A(读作B包含A)。规定空集φ是任何集合A的子集,即φ
A。

,则称A是B的真子集,记作
(读作A真包含于B)。

等价关系

若集合A与集合B互为子集,即A

B且B
A,则称集合A与集合B相等,记作A=B。

(5)集合的运算

并、交、差

a.并集

设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合,称为A与B的并集(简称并),记作

,即

b.交集

由所有既属于A又属于B的元素组成的集合,称为A与B的交集(简称交),记作

,即

c.差集

由所有属于A而不属于B的元素组成的集合,称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即

。若集合I为全集或基本集,称I\A为A的余集或补集,记作AC

集合的运算法则

设A、B、C为任意三个集合,则有下列法则成立:

笛卡尔积

设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的笛卡尔积,记为A×B,即

(6)区间和邻域

区间

a.开区间

设a和b都是实数,且a<b,数集{x|a<x<b}称为开区间,记作(a,b),即(a,b)={x|a<x<b}。其中a和b称为开区间(a,b)的端点,这里

b.闭区间

数集

称为闭区间,记作[a,b],即
。其中a和b称为闭区间[a,b]的端点,这里a∈[a,b],b∈[a,b]。

c.半开区间

定义

,[a,b)和(a,b]都称为半开区间。前者也称为前闭后开区间,后者也称为前开后闭区间。

d.区间长度

对于有限区间(a,b),数b-a称为区间长度。对于无限区间,引进记号十∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大),其区间长度为∞。全体实数的集合R也可记作(-∞,+∞),它也是无限区间。

邻域

以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a)。

设δ是任一正数,则开区间

就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作U(a,δ),即
,表示与点a的距离小于δ的一切点x的全体。其中点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径(图1-1)。

图1-1

点a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,记作

,即

这里0<|x-a|就表示x≠a。为了方便,有时把开区间(a-δ,a)称为a的左δ邻域,开区间(a,a+δ)称为a的右δ邻域。

2.映射

(1)映射概念

设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f(x)使得对X中每个元素x,按法则

f(x)在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f(x)为从x到y的映射,记作f:x→y,其中y称为元素x(在映射f(x)下)的像,并记作f(x),即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f(x)的定义域,记作Df,即Df=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f(x)的值域,记作

或f(X),即

关于映射的定义,需要注意以下几点:

映射三要素

a.集合X,即定义域D=X;

b.集合Y,即值域的范围:

Y;

c.对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应。

判断是否为映射时,这三者缺一不可。

对每个x∈X,元素x的像Y是唯一的;而对每个Y∈

,元素Y的原像不一定是唯一的;映射f(x)的值域
是Y的一个子集,即
Y,不一定有
=Y。

设f是从集合X到集合Y的映射,若

=Y,即Y中任一元素y都是x中某元素的像,则称f(x)为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射)。

(2)逆映射与复合映射

逆映射

设f是X到Y的单射,则由定义知,对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合f(x)=y。于是,我们可定义一个从

到X的新映射g,即
。对每个
,规定
,x满足f(x)=y,这个映射g称为f的逆映射,记作f1,其定义域
,值域

复合映射

设有两个映射

,其中Y1
Y2。则由映射g和f可以定义出一个从x到z的对应法则,它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z。显然,这个对应法则确定了一个从x到z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作
,即:

3.函数

(1)函数概念

定义数集D

R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数,通常简记为
。其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作D,即D=D。

函数定义中,对每个x∈D,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x)。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系,通常称为函数关系。全体函数值f(x)所构成的集合称为函数f的值域,记作

或f(D),即

表示函数的主要方法有三种:表格法,图形法,解析法(公式法)。

(2)函数的几种特性

有界性

设函数f(x)的定义域为D,数集

。如果存在数
,使得
,对任一x∈X都成立,则称函数f(x)在X上有上界,而
称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数
,使得
,对任一x∈X都成立,则称函数f(x)在X上有下界,而
称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M,使得
对任一x∈X都成立,则称函数f(x)在X上有界。如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界,这就是说,如果对于任何正数M,总存在x∈X,使
,那么函数f(x)在X上无界。

单调性

设函数f(x)的定义域为D,区间I

D。如果对于区间I上任意两点
,当
时,恒有
,则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(图1-2);如果对于区间I上任意两点
,当
时,恒有

,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的(图1-3)。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

图1-2

图1-3

奇偶性

设函数f(x)的定义域D关于原点对称,且对于任-x∈D,

恒成立,则称f(x)为偶函数;若对于任一x∈D,
恒成立,则称f(x)为奇函数。偶函数的图形关于Y轴是对称的;奇函数的图形关于原点是对称的。

周期性

设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l,使得对于任一x∈D有(x±l)∈D,且

恒成立,则称f(x)为周期函数。l称为f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

注意,并非每个周期函数都有最小正周期。例如狄利克雷(Dirichlet)函数:

容易验证这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期。因为不存在最小的正有理数,所以它没有最小正周期。

(3)反函数与复合函数

反函数

设函数f:D→f(D)是单射,则它存在逆映射f1:f(D)→D,称此映射f1为函数f的反函数。

复合函数

设函数y=f(u)的定义域为

,函数u=g(x)的定义域为
,且其值域
,则由下式确定的函数

称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为
,u称为中间变量,通常记为
,即
。与复合映射一样,g与f能构成复合函数fog的条件是:函数g的值域
必须含在函数f的定义域
内,即
。否则,不能构成复合函数。

(4)函数的运算

设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,D=D1∩D2≠φ,则我们可以定义这两个函数的下列运算:

和(差)

(5)初等函数

在初等数学中已经讲过下面几类函数:

幂函数:

指数函数:

对数函数:

三角函数:

等;

反三角函数:

等。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。

(6)双曲函数

应用上常遇到以e为底的指数函数

所产生的双曲函数以及它们的反函数——反双曲函数。它们的定义如下:

双曲正弦的定义域为(-∞,+∞),它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称。在区间(-∞,+∞)内它是单调增加的,当x的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于曲线

;在第三象限内接近于

关于x轴对称的曲线(图1-4)。

图1-4

双曲余弦的定义域为(-∞,+∞),它是偶函数,它的图形通过点(0,1)且关于y轴对称。在区间(-∞,0)内它是单调减少的;在区间(0,+∞)内它是单调增加的。1是这函数的最小值。当x的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于曲线

,在第二象限内接近于曲线
(图1-4)。

双曲正切的定义域为(-∞,+∞),它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称。在区间(-∞,+∞)内它是单调增加的。它的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间;且当x的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于直线y=1,而在第三象限内接近于直线y=-1(图1-5)。

图1-5

二、数列的极限

1.数列极限的概念

(1)定义

设{

}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式
都成立,那么就称常数a是数列{
}的极限,或者称数列{
}收敛于a,记为
。如果不存在这样的常数a,就说数列{
}没有极限,或者说数列{
}是发散的,习惯上也说

不存在。

(2)数列极限的几何解释

将常数a及数列x1,x2,x3,…,xn…在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε,a+ε)(图1-6)。

图1-6

所以当n>N时,所有的点

都落在开区间(a-ε,a+ε)内,而只有有限个(至多只有N个)在这区间以外。

注意在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{

}的极限时,重要的是对于任意给定的正数ε,要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在,但没有必要去求最小的N。

2.收敛数列的性质

(1)唯一性

【定理】如果数列{

}收敛,那么它的极限唯一。

(2)有界性

对于数列{

},如果存在正数M,使得对于一切x都满足不等式
,则称数列{
}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说明数列{
}是无界的。

如果数列{

}收敛,那么数列{
}一定有界。  

(3)保号性

如果lim

=a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0,当n>N时,都有
>0(或
<0)。

如果数列{

}从某项起有
≥0(或
≤0),且lim
=a,那么a≥0(或a≤0)。

3.子数列的概念及性质

(1)子数列的定义

在数列{

}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{
}中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列{
}的子数列(或子列)。设在数列{
}中,第一次抽取
,第二次在
后抽取
,第三次在
后抽取

,……,这样无休止地抽取下去,得到一个数列
这个数列{
}就是数列{
}的一个子数列。

注意在子数列{

}中,一般项
是第k项,而
在原数列{
}中却是第nk项,显然,nk≥k。

(2)子数列与数列间的关系

如果数列{

}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a。

上述说法的逆否命题为:若数列{

}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{
}是发散的。

三、函数的极限

1.函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就称为在这一变化过程中函数的极限。

这个极限是与自变量的变化过程密切相关的,由于自变量的变化过程不同,函数的极限就表现为不同的形式。数列极限看作函数f(n)当n→∞时的极限,这里自变量的变化过程是n→∞。下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数f(x)的极限,主要研究两种情形:

(1)自变量x任意地接近于有限值

或者说趋于有限值
(记作x→
)时,对应的函数值f(x)的变化情形:

具体表述

现在考虑自变量x的变化过程为x→

。如果在x→
的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A,那么就说A是函数f(x)当x→
时的极限。当然,这里我们首先假定函数f(x)在点
的某个去心邻域内是有定义的。

【定义】设函数f(x)在点

的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-
|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式
,那么常数A就称为函数f(x)当x→
时的极限,记作

注意定义中0<|x-

|表示x≠
,所以x→
时f(x)有没有极限与f(x)在点
是否有定义并无关系。

几何解释

任意给定一正数ε,作平行于x轴的两条直线y=A+ε和y=A-ε,介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义,对于给定的ε,存在着点

的一个δ邻域(
-δ,
+δ),当y=f(x)在图形上的点的横坐标x在邻域(
-δ,
+δ)内,但x≠
时,这些点的纵坐标f(x)满足不等式
,亦即这些点落在上面所作的横条区域内(图1-7)。

图1-7

(2)自变量x的绝对值|x|无限增大即趋于无穷大(记作x→∞)时,对应的函数值f(x)的变化情形:

具体表述

设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式|x|>X时,对应的函数值f(x)都满足不等式

,那么常数A就称为函数f(x)当x→∞时的极限,记作

几何解释

从几何上来说,

的意义是:作直线y=A-ε和y=A+ε,则总有一个正数X存在,使得当x<-X或x>X时,函数y=f(x)的图形位于这两直线之间(图1-8)。这时,直线y=A是函数y=f(x)的图形的水平渐近线。

图1-8

2.函数极限的性质

(1)唯一性

函数的唯一性是指,若limf(x)存在,那么这极限唯一。

(2)有界性

如果

,那么存在常数M>0和
,使得当
时,有

(3)局部保号性

如果

,且A>0(或A<0)那么存在常数
,使得当
时,有f(x)>0(或f(x)<0)。

如果

,那么就存在着
的某一去心邻域
,当
时,就有

如果在

的某去心邻域内
,而且
,那么

3.函数极限与数列极限的关系

如果极限

存在,
为函数f(x)的定义域内任一收敛于
的数列,且满足:
,那么相应的函数值数列
必收敛,且

四、无穷小与无穷大

1.无穷小

(1)无穷小的定义

如果函数f(x)当x→

 (或x→∞)时的极限为零,那么称函数f(x)为当x→
 (或x→∞)时的无穷小。特别地,以零为极限的数列{
}称为x→∞时的无穷小。

注意不要把无穷小与很小的数(例如百万分之一)混为一谈,因为无穷小是这样的函数,在x→

(或x→∞)的过程中,这函数的绝对值能小于任意给定的正数ε,而很小的数如百万分之一,就不能小于任意给定的正数ε,例如取ε等于千万分之一,则百万分之一就不能小于这个给定的ε。零是可以作为无穷小的唯一的常数,因为如果f(x)≡0,那么对于任意给定的ε>0总有|f(x)|<ε。

(2)无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程

中,函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+
,其中
是无穷小。

2.无穷大

(1)无穷大的定义

设函数f(x)在

的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只要x适合不等式0<|x-
|<δ(或|x|>X),对应的函数值 f(x)总满足不等式
,则称函数f(x)为当x→
(或x→∞)时的无穷大。

当x→

(或x→∞)时的无穷大的函数f(x),按函数极限定义来说,极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一状态,我们也说“函数的极限是无穷大”,并记作

如果在无穷大的定义中,把|f(x)|>M换成f(x)>M(或f(x)<一M),就记作

必须注意,无穷大∞不是数,不可与很大的数(如一千万、一亿等)混为一谈。

(2)无穷大与无穷小之间的关系

在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则1/f(x)为无穷大。

五、极限运算法则

1.基本性质

(1)有限个无穷小的和也是无穷小。

(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

常数与无穷小的乘积是无穷小。

有限个无穷小的乘积也是无穷小。

(3)函数极限四则运算

如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么

;

若又有

,则

a.如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[c f(x)]=clim f(x)。就是说,求极限时,常数因子可以提到极限记号外面,这是因为limc=c。

b.如果limf(x)存在,而n是正整数,则[limf(x)]n=[limf(x)]n

2.数列极限的四则运算法则

数列也有类似的极限四则运算法则:

(1)设有数列{

}和{
}。如果
那么

(n=1,2,…)且
时,

(2)如果

,而
,那么

(3)设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点

的某去心邻域内有定义,若
,且存在
,当
时,有
,则

六、极限存在准则(两个重要极限)

1.夹逼准则

(1)如果数列{

}、{
}及{
}满足下列条件:(1)从某项起,即存在
∈N,当

n>

时,有
,(2)
,那么数列{
}的极限存在,且lim
=a。

(2)如果当

(或
)时,

,那么
存在,且等于A。

(1)及(2)称为夹逼准则。

2.

首先注意到,函数sinx/x对于一切x≠0都有定义。

在图1-9所示的四分之一的单位圆中,设圆心角∠AOB=x(0<x<π/2),点A处的切线与OB的延长线相交于D,又BC⊥OA,则sinx=CB,x=AB(弧长),tanx=AD。因为ΔAOB的面积<扇形AOB的面积<ΔAOD的面积,所以1/2sinx<1/2x<1/2tanx,即sinx<x<tanx。不等号各边都除以1/2sinx,就有

  或
  (1)

因为当x用-x代替时,cosx与

都不变,所以上面的不等式对于开区间(
,0)内的一切x也是成立的。

为了对(1)式应用夹逼准则,下面来证limcosx=1。事实上,当0<|x|<π/2时,0<|cosx-1|=1-cosx=

2sin2

<2(
)=
,即0<1-cosx<
。当x→0时,
→0,由夹逼准则有lim(1-cosx)=0,所以limcosx=1。

由于limcosx=1,lim1=1,由不等式(1)及夹逼准则,即得

图1-9

3.

首先考虑x取正整数n而趋于+∞的情形:

,我们来证数列
单调增加并且有界,按牛顿二项公式,有

类似的,

比较

的展开式,可以看到除前两项外,
的每一项都小于
的对应项,并且
还多了最后的一项,其值大于0,因此
。这就说明数列{
}是单调增加的。这个数列同时还是有界的。因为,如果
的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替,得

这就说明数列{

}是有界的。根据极限存在准则,这个数列{
}的极限存在且通常用字母e来表示它,即

可以证明,当x取实数而趋于+∞或-∞时,函数(1+1/x)x的极限都存在且都等于e。因此,

,这个数e是无理数,它的值是e=2.718281828459045…。

4.柯西(Cauehy)极限存在准则

(1)具体表述

数列{

}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在着这样的正整数N,使得当m>N,n>N时,就有|
|<ε。

(2)几何意义

这准则的几何意义表示,数列{

}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,在数轴上一切具有足够大号码的点
中,任意两点间的距离小于ε。柯西极限存在准则有时也称为柯西收敛原理。

七、无穷小的比较

如果limβ/α=0,就说β是比α高阶的无穷小,记作limβ=o(α);如果limβ/α=∞,就说β是比α低阶的无穷小;如果limβ/α=c≠0,就说β与α是同阶无穷小;如果limβ/αk=c≠0,k>0,就说β是关于α的k阶无穷小;如果limβ/α=1,就说β与α是等价无穷小,记作α~β。显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即c=1的情形。

关于等价无穷小,有下面两个性质:

1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)。

2.设

,且
存在,则

八、函数的连续性与间断点

1.函数的连续性

(1)连续的定义

设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差u2-u1就称为变量u的增量,记作Δu,即Δu=u2-u1。现在假定函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的。当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Δx时,函数y相应的从f(x0)变到f(x0+Δx),因此函数y的对应增量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。

设函数y=f(x)在点

的某一邻域内有定义,如果
,那么就称函数y=f(x)在点
连续。

(2)左连续与右连续

如果limf(x)=f(

-)存在且等于f(
),即x→
,f(
-)=f(
),就说函数f(x)在点
左连续。如果limf(x)=f(
+)存在且等于f(
),即f(
+)=f(
),就说函数f(x)在点
右连续。

在区间上每一点都连续的函数,称为在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

2.函数的间断点

设函数f(x)在点

的某去心邻域内有定义。在此前提下,如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x=
没有定义;(2)虽在x=
有定义,但limf(x)不存在;(3)虽在x=
有定义,且limf(x)存在,但limf(x)≠f(x0),则函数f(x)在点
处不连续,而点
称为函数f(x)的不连续点或间断点。

3.反函数与复合函数的连续性

(1)如果函数y=f(x)在区间I上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数x=f1(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Iy}上单调增加(或单调减少)且连续。

(2)设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,U(

Dfg。若
,而函数y=f(u)在u=
连续,则
。  

(3)设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,U(

)=Dfg。若函数u=g(x)在x=
连续,且g(
)=
,而函数y=f(u)在u=
连续,则复合函数y=f[g(x)]在x=
也连续。

九、闭区间上连续函数的性质

1.有界性与最大值最小值定理

对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有

∈I,使得对于任一x∈I都有f(x)≤f(
)(f(x)≥f(
)),则称f(
)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)。

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。这就是说,如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么存在常数M>0,使得对任一x∈[a,b],满足|f(x)|≤M;且至少有一点ξ1,使f(ξ1)是f(x)在[a,b]上的最大值;又至少有一点ξ2,使f(ξ2)是f(x)在[a,b]上的最小值(图1-10)。

图1-10

注意如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上不一定有界,也不一定有最大值或最小值。

2.零点定理与介值定理

(1)零点定理

具体表述

如果

使f(
)=0,则
称为函数f(x)的零点。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0。

几何解释

从几何上看,如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧,那么这段曲线弧与x轴至少有一个交点(图1-11)。

图1-11

(2)介值定理

具体表述

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。

由上述表述可知,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

几何解释

又0=f(ξ)-C,因此由上式即得f(ξ)=C(a<ξ<b)。这介值定理的几何意义是连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点(图1-12)。

图1-12

(3)一致连续性

设函数f(x)在区间I上有定义。如果对于任意给定的正数ε,总存在着正数δ,使得对于区间I上的任意两点x1,x2,当|x1-x2|<δ时,就有|f(x1)-f(x2)|<ε,那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。

一致连续性表示的是不论在区间I的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。

由上述定义可知,如果函数f(x)在区间I上一致连续,那么f(x)在区间I上也是连续的。但反过来不一定成立。

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