为什么有的孩子在数学的学习过程中，他感觉越来越难呢？

朵爸有两个女儿，大女儿读5年级，小女儿读1年级。我的大部分时间都在琢磨数学辅导，不管是借助GPT4学编程，还是搞知识星球、小报童等各种尝试，都是围绕数学辅导这一领域展开的。

而数学辅导的背后是有关学习本身的认知心理学，所以我给自己的角色定位是学习力研究者和实践者。

而我自己更喜欢自称为学习力工程师。工程师的核心能力：结构化+动手能力。而编程有助于训练动手能力。

编程就是一个工具，和我们使用的纸、笔、打印机一样，可以帮我们做有规律、重复的事情。而我们需要做的就是，找到事情的规律（抽象），然后按照一定的顺序（逻辑），用程序能听懂的话，将其实现（动手能力）。

我用JS编程给小女儿制作了百数表游戏，还设计了随机生成带小棒图的退位减法训练题。

成年人的学习是真的很奢侈，所以我的策略就是跟自己的手头工作关联起来，不是为学习而学习。这里给大家分享一条经验：善于给自己设定有“牵引力”的目标。

真正的“目标”是那种让你有“牵引力”的感觉的目标。打个比方，把你带到海里，摁住你的头到海水里，直到你快要憋不住气了，再放你上来。头露出海水的那一瞬间，你要拼命吸气，吸气就是一种“目标牵引力”。

有了目标，你的学习就会很有效率。比如我通过设定给自己娃编程一些学习工具而有针对性地去学习编程。

对大女儿的数学学习，我近期在研究函数，研究比例。

我在《朵爸教数学知识星球》里聊六年级如何学习比例的概念，关于比的本质的思考，《教师指导用书》说：

物体除了可度量的属性（比如长度、面积、体积、质量等），还有不可度量的属性，如颜色、形状、质地等，这些属性不可度量，但可以比较。

比如说：用蓝色油漆和黄色油漆调制成绿色油漆，每个人用的蓝黄二色的配比不同，调成的绿色油漆一样吗？（想起之前刷短视频刷到一位配色手艺人）

我们可以通过计算每种方案中蓝黄二色配比的比值，比值相同的绿色也是相同的。

同样，在冰淇淋配方问题中，味道是不可度量的，奶油和糖的量每种做法都不一样，但是只有奶油与糖的比值与配方相等时，味道才是相同的。

可见，用比来记录对等关系，可以表征事物不可度量的属性，使得这些属性具有可比性。这就是比的本质。

相同的交换关系，相同的组合关系，相同的含量或相同的密度都可以是比的相等。

比是一种状态，是一种关系。

如今我颇有“见山仍是山，见水仍是水”的释然~

如何让孩子体会比例呢？想象一下广州地铁3号线车厢人挤人。一节车厢的空间容量有限，人越多越每个人的空间越小，这就好比配置糖水，糖越多越甜（想到甜挤一挤也是可以忍受一下啦），浓度的概念对应了地铁车厢里的人流密度。这背后都是比例。

我们再来看函数。

函数是初中学习概念上的重大飞跃。

初中的函数、高中的解析几何、大学的微积分思想，这三次大的概念飞跃，分别拓展出巨大的数学空间。

函数也是很多学生的卡点。

五六年级培优学比例行程，正、反比例也就是一次函数。

当速度一定的情况下，路程和时间的关系，他们之间的关系并不再只是单个具体的数，路程可以存在无数种可能，同时会对应着无数个时间的量，这就变成了两组数据，这两组数据中产生的关系就是比例关系。

从此刻开始，孩子们对数与数之间存在的关系的认知要上升到两组量之间存在的关系。

那么，上升到两组量之间存在的关系的这样一种思维的认识，以及思维的迁移就是孩子初中学习函数的前提。

所以老师在教学的过程当中，如果没有把这种微妙的关系让孩子去体验到和领悟到的话。他还在用两个数之间存在的关系的角度跟视角去教学，学生必然很难理解什么叫函数。