写给学生
第四章 有效提高解题水平的捷径
第一节 走走停停
一道题目做出来后，不要如释重负——可把它拿下来了，赶快做下一道吧。太傻了！
这如同抗日战争中一场激烈的战斗，全歼了被包围的日寇之后，指挥员马上吹集合号把队伍带走一样。
因为，抗战初期我们队伍装备很困难，这时，应该打扫战场，收捡敌人的枪支弹药给养补充自己、壮大自己，好去打新的胜仗。做出一道题目后，也要来打扫战场。因为，能把一道题目做出来，必定是思考上符合了科学规律，当然，有些是自觉的，有些是不自觉的，甚至歪打正着——瞎碰出来的。
这时，需要停下来，回首刚刚走过的道路，进行分析、总结、吸收营养、分析教训，提高了自己以后，以强大一截的自己，投入新的战斗——做下一道题。当然，这个停下来回首的时间，根据情况，有时多一些，有时短一些，也有时可以是几道类似的题目之后合并进行。但一定要进行！这就是走走停停。
停一停来回首，回首什么呢？
第二节 回答的目的是有所发现，有所发明，有所创造，有所前进
停下来是为了进行回首，但回首不是目的，回首的目的，是有所发
现，继而有所前进。
怎样的回首，才能起到这种作用呢？
第1 步，看看这道题我是怎么解出来的？完成解法的关键性步骤是
哪些？
第2 步，回忆自己是怎么想出来的？
第3 步，因而，是不是还可以有另外的方法，并一一完成它们；（一
题多解）
第4 步，比较不同的解法，挖掘它们的共同本质；（多解归一）
第5 步，作为第4 步挖掘出来的这“共同本质，以前是否总结过？
如果有，那么，“存档”，这是普适性的思考方法；如果没有，也“存
档”，是“预备档”，看看以后它是否又“冒出水面”，若如是，即可
转正，存“正式档”。（多题归一）
概括起来，就是一题多解，多解归一，多题归一。
第三节 使“有所发明”、“有所创造”具体化
我的学生们说：平面几何，我们连课本上的题目都没有弄完（我们数学课不留作业，只是建议同学们回家后可以看看课本上的习题，复习题，练习题则免看），练习册不买，课下几乎没见过课本以外的题目，
但我们手中有孙老师的平面几何几个表（12 条规律，前面提到的证明4条线段成比例的规律，就是其中规模较大的一条规律）、立体几何10 个表，掌握了这些。无论什么平面几何题、立体几何题，就难不倒我们了。同学们的说法有些夸张。但对于不是怪题、特别难的题目，情况的确如此。这可以从我们在中考、高考、数学竞赛中的成绩看出来。事实上，不仅对于平面几何、立体几何，在代数、解析几何中，也
是如此。我有时对人说，我这里有4 个“大规律”、15 个“中规律”、三四十个“小规律”，掌握运用娴熟了，那么，从初一到高三，从代数到几何，就没有不会做的题目了。正因为如此，我们可以根本不进题海，又由于站在系统的高度，站在哲理的高度，运筹帷幄，纵横驰骋，课程进度也大大加快。初一入学
后，代数与几何同时进行，但每周6 课时不增加，由于我经常外出开会，实际每周上不到6 课时，可是用了一年半，就学完初中数学的全部，而且增加了许多内容。例如，反证法，需要条件、逻辑、初等数论某些知
识、平均数不等式、排列组合，等等。到初三毕业，则基本学完高中数学（包括代数、立体几何、解析几何），并补充了排序不等式、柯西不等式等及高等数学的一些内容。但是，掌握武器的是人。先进的武器，只有在训练有素、勇敢坚强的战士手中，才有巨大的杀敌作用。我们的解题思考规律是在一题多解、
多解归一、多题归一的实践中总结出来的，的确是宝贵的。但它们能在我们班的中考、高考、数学竞赛中发挥作用，如本章一开始就写下的，是更因为我们全心致力的事业——造就一个强大的头脑，取得了进展。
否则，这些条条不能灵活适时地运用，在拿来一道题目的思考中，能起到的作用就很有限了。
自1981 年以来，来自北京各区县和全国各地到22 中来听过我的课的老师，已在1 万人以上。有好多老师听完课后，向我要“大规律、中规律、小规律”的表。因为他们在听课时，看到了令人兴奋的生动情景；同学们表现了很高的解题能力，而他们一个个到黑板上讲题时，常常说自己是根据某某规律，因而采取了某种构思? .我对这些老师说，这些规律，我们并不保密，但欲让它们发挥作用，在我们是经历了很长一个时期的“实践→认识→再实践”的过程，并且继之以“再实践→再认识→又实践”。同时，全神致力于提高自己的思维水平，造就一个强大的头脑，把通过实践、观察、发现、归纳规律，
也作为造就一个强大的头脑的一个方面。同时，我没有保留地把我们的4 个大规律告诉他们：
（1）深入进去，弄通情景；
（2）顺推分析和逆推分析相结合；
（3）换个角度看问题，是灵活性的本质；
（4）广义对称思想。
我发现，每每这时，他们常常有些失望，因为，这不像所期待的宝葫芦。对于第（4）条，更有一种惘然的表情__
第四节 剑在磨砺中锋利
第五节 必须追溯其所以然
一些优秀的教师或读物讲题时，不但清晰地讲明白了解法（或证法）的每一步，还讲出了得到这个解法（或证法）的想法酝酿过程，即这个解法是怎么想出来的，我称它为“所以然”。如果老师（或读物）只讲清楚了解法，而没有讲出怎么想出了这个方法，那么，我们同学们听讲（或看书）时，一定要追！追出其所以然。可以问老师：“您为什么要往这儿来想？”如果老师回答不出（读书时，则无老师可问），就自己去想，去分析，把为什么这么想，包括过程中的一些重要转折或步骤，是怎么想出来的，即，为什么要这么去想，都要弄得水落石出，达到这个地步，这道题你才算听会了，会了这道题，对自己才有价值，自己的解题能力才可以说，有了一点儿发展。否则，这道题会做了，再换一道呢？又得请人讲或者看书上写的解
法了，因为，自己不会想。教师不能这样讲课，学生也不能这样听讲。同时，希望说清楚，“要讲出其然，更讲出所以然”，特别是其中的一个方面，老师自己的误走麦城，是学生的宝贵财富。我们班不留笔头数学作业，只少量留些题目让大家思考，但思考一定要是“更知其所以然”的。我们的数学课堂上讲题，无论是老师还是学生，一定要“讲出其所以然”。开始时，就像前面写的那样细致，这是刚入初一时，但随着同学们头脑强大起来，水平提高起来，表达“其然”也好，表达“其所以然”也好，都要简练得多了，而且，愈来愈快，愈来愈精炼，迫使每个同学的思考高速运转，日复一日，年复一年，习以为常了，是一个强大的头
脑日臻于成熟的又一个标志。追求“所以然”，可以揭露学生学习中许多模模糊糊的观念；反之，
却造成学生观念上的似是而非。当然，这个“所以然”，要追溯到我们总结出的解题思考规律上，
才能打住。
第六节 强调两个方法
一、图形的方法
在中学数学里，数形结合，是非常重要的，它帮助我们形象直观地理解概念、性质等等，这里通常指解析几何里的方程的曲线，或代数里函数的图像。
但我在这里提出的“图形的方法”是另外的意思，是对一些并没有前面所述的原本数学中就规定有图像或曲线的代数问题，甚至是解题的思考过程，图形化，形象化，生动化，出现逼真的情景，春风化雨，使
题目显而易见的化难为易，得到解决。
2．举一反三，引伸发展
要浮想联翩，恣意驰骋。这是本书的反复强调特别在第二篇第一章“时时注意寻找知识之间的联系和规律”中着意阐述的。但这里所讲“举一反三，引伸发展”，是从解题做作业的角度提出的。
第五章 一些具体的做法
前面写过关于一分为二的观点，它有这样一层意思，任何事物都不是绝对的，而是用对的，有条件的。
谈到具体的做法时，请同学们注意这一点但这并不意味着，怎么做都是好的，措施可以不同，但精神和原则，又要是一致的。
第一节 中学时代需要高层次的体育和艺术修养
第二节 高层次的业余生活
第三节 科学安排日程
1．要抓紧时间。但不能违背科学。比如，把午饭后的时间都用上了，久而久之，不仅影响了肠胃健康，而且易产生疲劳，下午学习都学不好。再如，有人说自己越是夜深脑子越清醒，但是一个人的生物钟有高峰，也有低谷，养成了夜里清醒的规律，白天听课、考试处于了低谷，得乎？失乎？有人要求自己，困难面前不低头，难题面前不退让。乃至，头悬梁，锥刺股，也要拿下它来。对不对呢？精神上是对的，但做法上值得商榷。因为艰苦用脑一段时间后，略事休息才好，特别是一道题目久攻不克，休息一会儿，有利于从生理心理上换个角度去思考。
晚饭宜在6 点左右进行，一天的学习、锻炼，使得5 点半以后，学习已无效果可言，如果晚饭推迟，饭前学习没有效益，又挤缩了晚自习的时间。有的同学晚上是睡一觉以后再学习，这更不好，因为，每次睡觉的前后各有一段时间半睡半醒，如果把该睡的觉拆成两段，那么，半睡半醒的时间增加1 倍，不智。
2．合理安排课外阅读。这里是指课本、参考书以外的读物。对于丰富、完善自己的人生，这种阅读是必要的。正是为了这个目的。它们应该是有选择的。并且不占太多时间，不影响其他方面的安排。
3．养成订计划的习惯。
会订计划，善于安排日程，对于人一生的事业成功，都是宝贵的。中学时代就养成订计划的习惯，将为此打下基础。订学期计划、月计划、每日作息安排，然后坚决执行，并定期修正，使同样的中学6 年，得到不一般的收获。各地、各校、各人的不同情况，作息时间的细节会有所区别。但在有一个细节上，我坚决主张应当一律相同，那就是保证每天有充足的睡眠。一方面，这是青少年正常发育的需要；另一方面，睡够了觉，头脑清醒，思维清楚，才有好的学习质量。我十分反对在学习上提倡“头悬梁，锥刺股”。已经昏昏欲睡了，强制兴奋可以使他无法入睡，也同样会使他大脑一片空白。我们班的实践表明，充足的睡眠，是同学们取得优异成绩的不可或缺的重要因素。
第四节 我反对“背”
把本书读到这里，同学们大概都会同意我的观点，即，知识是系统中的知识；一切公式、定理、定义都有它的道理，有时还那样令人兴奋；学习知识，不能死记硬背，应该在理解中特别是“自己动手”去理解它们，这样，在不知不觉中，就记到了心上。有人说，那是理科。文科则需要背，政治不背怎么行？全国32 个省市自治区的名称还能理解？外语单词不背怎么行？等等。大谬。
政治是一门科学，而一些人却把它看做教条，所以，不背怎么行？越如此，越教条，越枯燥，越学不进去了，把多么好的一门政治课，给背可惜了。
外语单词的掌握，用多侧面的剖析、联系、比较，本书前面举过外来语侧面、词根侧面两个例子，还有一些侧面，多管齐下，记忆单词不是难事，但不是“背”单词。
省、市、自治区的名称还能理解？当然能，这在本书前面，曾举过
这上面的一、二个例子。
如果有人考我32 个省、市、自治区的名称，我现在开始默写：
黑、吉、辽、冀、鲁、苏、浙、闽、粤、琼、桂、赣、皖、豫、晋、内蒙、陕、鄂、湘、黔、川、甘、宁夏、新疆、青海、藏、滇、京、津、沪、渝、台湾。
看看腕上的手表，用了1 分55 秒，并且没有遗漏，没有重复。
何以能如此，我脑中，先浮现了一幅地图，直辖市和台湾好写，放到最后，然后从东北角开始，从上（北）到下（南），一条一条的蛇行前进，很快就写完了它们的名称。
唔，这不是图形的方法吗？
但另一个例子，则可能是排序的方法了，
再一个呢？??
我吁请同学们从“背”的桎梏中解放自己吧，世界本来是那么广阔，
那么美好。
第五节 学会复习
一、复习了3 遍和刚复习1 遍
一位同学复习3 遍了，另一位同学刚复习1 遍，如果他俩其他基本
条件相同，谁的效果好一些呢？
不好说。
这要看，这3 遍是怎样的3 遍，而这1 遍又是怎样的1 遍了。
很多同学这样进行复习（特别是期中和期末），一上来就打开书、
笔记或以前做过的卷子，从头看起，发现好多东西都眼熟，越看越高兴，
很快就复习完了一遍。合上书或笔记本以后，感觉很多东西又记不清了。
于是，照样再来一遍。而后，又来一遍，仔细回忆一下，跟复习前
的变化不大。
如果用这样的方式花一天的时间复习3 遍，不如用下面的方式也花
一天的时间只复习1 遍。
那就是，把书（笔记、以前的卷子）合上，先进行回忆，一面回忆，
一面在一张纸上勾画一下轮廓、要点、结构等等，有模糊的地方，也不
打开书，而是竭尽全力，直想到山穷水尽。最后才打开书（笔记、以前
的卷子）。
打开后，对照一下，回忆中完全正确的部分，不必再花费时间了，
因为那些已经在自己脑子里站住了，又经这次默忆，就生了根了；对于
似是而非或完全忘记了的知识或题目的解法，则集中时间和精力，去分
析遗忘的原因，改弦更张，把它们攻克。
一天的时间和精力，都集中到仅仅几处，当然效果切实。而这种方
式又使过去学会的部分，用刚才的话来说——生根了。
二、总复习、阶段性复习都要有
三、千万别干“突一突”的蠢事
几次重大考试例如中考、高考前，常听一些家长或老师要求学生，
在最后两个月（一般是模拟考试后）全力拼搏，再突一突，甚至有具体
指标——“总分再长××分，达到×××学校”。
讲这些话，实在有些外行。
其一，几年都没学好，就凭最后两个月，就能突上去了？这违背科
学，而且这最后的两个月中，又要报名、体检、毕业典礼、照像、领准
考证、看考场，能静心学习的时间有1 个月就不错了，怎么可能把几年
没学好的功课一下子“突”上去。
把某几个方面“突”上去，也不是一点儿可能都没有，若花下大的
力气，果真在这里突上去了，还不知别的地方要掉下多少，得不偿失。
这里的“突一突”，不少人常是指那些要“背”的科目，是指“政
治”、“语文”、“历史”。
而且还有“理论”根据：数学、物理、化学这些功课非一日之功，
最后一两个月想提也提不上去了，于是“背”政治吧，“惊天地泣鬼神”
地一通“背”，趁热乎劲，倒能拿些“分”，而“背”早了也没用，到
考试时就忘了。
殊不知，数、理、化的确非一日之功，最后一、两个月长不出多少
成绩，但把一、两个星期的时间扔到一边，成绩肯定要滑下不知多少呢！
解决好这个问题，我的建议是：
无论数、理、化，还是语文、政治、历史等等，外语更是如此，一
定要在平时每天学好，不要产生下意识寄希望于考前“突”。特别是_政
治，平时学习，就要深入地学好这门科学。
在考前两个月的总复习中，不要集中时间一门一门地复习，而要和
课表上安排配合，在每两天中，每门功课都接触一次。学校停课后自己
回家复习时，也要这样。
而这一阶段最重要的，是确立两个目标，或者说任务吧，那就是：
（1）通过从容地回顾、条理、系统化，使那几年内学过的知识，在
自己的脑海里，全面回潮；
（2）让自己的体力、精力、心理、精神越来越好，造成强烈的求战
欲，摩拳擦掌，跃跃欲试。
现在把本书开头提到的1999 年6 月10 日那天大会上，刘婷同学和
陈硕同学的发言转载在下面，作为一个侧面的小结，刘婷同学现在在清
华大学计算机系，获奖学金，陈硕同学在清华大学电子系，刚进校，就
获得奖学金。他们发言是谈我的教学方法，但同时反映了作为一名学生
如何学习的领会。
谈孙维刚老师教学特点
学生 刘婷
孙老师是我的恩师，跟孙老师学了8 年，我学了许多东西，特别是
他独特的教学方式，使我体味到教学也是一门艺术，它并不亚于音乐、
绘画、雕刻，它塑造的对象就是我们——每一个学生。“把不聪明的变
聪明，让聪明的更聪明。”孙老师经常这样说，通过他的教学实践，也
真正实现了这一点。
很难说在一篇短短的文章中概括出孙老师的教学特色，只能谈几点
我的亲身感受。俗话说，站得高方能看得远。学习是这样，教学更是如
此。孙老师并不单纯着眼于传授知识或是培养能力，而更注重提高人的
素质，说白了就是造就我们强大的大脑。
我还清楚地记得孙老师在奥校给我们上的第一堂课。说是讲数学，
可是他一道具体题目也没讲，而是从什么是数学谈起，谈到历史、物理、
天文??一会儿风趣地给我们讲人的鼻孔为什么朝下而不向上，一会儿
又讲到六、七十年代柬埔寨朗诺叛变；从吟咏的诗句“忽如一夜春风来，
千树万树梨花开”到赞叹门捷列耶夫对未发现元素的惊人预见力。思维
跨越千山万水，跨越时空。这些看起来毫无关联的事情，都被孙老师自
然地联系在一起。孙老师说：“聪明的第一个表现就是思潮如涌。让你
的思维活跃地跳动，见到问题不断追根问底，当一个个为什么解决之后，
事情就明朗了，人也就变得聪明起来了。学习也是一样，聪明的人不会
照搬死记一个个公式、概念，而是八方联系，浮想联翩，这样才能让死
的公式变得鲜活生动起来，才能把纷繁杂乱的知识联系树立起来，使书
在越念越厚之后变得越来越薄，最后回头想想，所学的那么多东西，只
不过玩弄于股掌之中的一些小玩意罢了。”
孙老师十分注重培养我们用哲学思想去指导学习。如对称思想，矛
盾对立统一，量变到质变等都是非常重要的思想。记得还在上初中时，
一次孙老师顺手在黑板上写了个公式，（a＋b）3=a3＋3a2b－3ab2＋b3 他
边回身边问我们能不能记住这个公式，我说：“能。”孙老师摇摇头说：
“你应该说这个公式一定写错了。因为在公式左端a 和b 是平等的，而
在展开式中a 和b 不平等了，那么他一定错误的，这就是对称思想”。
当然这个例子太小了，对称的意思是相当深刻，广泛的。对称就是和谐，
是美，是一切事物都在他该在的地方。有了这种思想，才有了元素周期
律表，才能预见、判断很多问题的结果。作为学生我们不可能很深刻地
理解他，但仅运用它的皮毛我们就可以用一个上午学习并掌握三角函数
118 个公式，这是大部分学校一个月要讲的功课，可见用哲学思想指导的
威力。
孙老师从不搞题海战术，他指导我们做题的思想是：弄通情景，题
不求多，但求精彩。做到一题多解，多解归一，多题归一，有所发现。
孙老师经常在黑板上写一道精彩的题目，然后带着我们弄通情景，将题
目分析得“体无完肤”，然后解法就顺理成章地形成了。同时他还鼓励
有不同解法的同学上黑板讲他们的解法，最关键的是要讲出他们是如何
弄通情景的。然后我们一起分析不同方法异曲同工的地方在哪里，是否
还可推广。有时孙老师会毫不吝惜地拿出好几堂课时间来分析一道题目。
看似浪费时间，实际上将这一道题吃透了比盲目地做上几十道题目更有
意义。
我认为孙老师的教学指导思想和方法是先进的，是教学发展的方向。
这一点在我上了清华大学后更深有体会。将来21 世纪国际间的竞争归根
结底是人才的竞争。而高素质的人才需要的创新精神，不是简单重复前
人的工作。应试教育是无法培养出人才的，他无异于对年轻人才智的扼
杀。而靠题海战术得高分的同学上了大学就会发现过去这套学习方法再
也不能适应大学的学习。因为你再也没有时间去靠“熟”来生巧了。因
此，我希望更多的中学生从题海里跳出来，站得更高一点，眼界放长远
一点，选择一种先进的学习方法去学习，把自己的才华发挥得淋漓尽致。
1999．6．10__
使我终生受益的数学课
学生 陈硕
孙老师的课与众不同，不但教授知识，更重要的是讲授方法——解
题和思维的方法，这些方法不仅适用于数学，对其他学科也大有裨益。
他的最大特点就是举一反三，触类旁通，注重知识间的联系，学科间的
交织。
孙老师的第一节课给我留下了深刻的印象。他一动不动的站在讲台
上问大家，“我是静止的？”我举手回答：“您是静止的，但是您的心
在跳动。”无知的我还在心里沾沾自喜，殊不知我的回答引起了全班的
哄堂大笑——大家都明白他为什么问这个问题，而我却不知道。孙老师
没有笑，更没有指责，他把问题严谨了，“好，现在不说我了，我们来
看这支粉笔。”说着，他把粉笔稳稳地立在面前，“你说它是静止的吗？”
“不能这么讲，因为地球还在转动”我回答说。对于五年级的我来说，
能想到这一层已经很不错了。但是孙老师随后的讲解使我明白了运动和
静止是相对的，是要对一个特定的参考物而言。孙老师通过这个例子，
告诉我们，要多角度看问题，不要拘泥于一点，只有经常改变观察点，
才能把问题看清楚，看全面，才能使问题迎刃而解。换个角度看问题是
孙老师最得意的“动的思想”中很重要的一部分。
在这堂课上，还有一道很经典的题目：共有12 个形状和大小都一样
的球，其中有一坏球重量与其他不同，要求天平称三次把它找出来。看
似简单的一道题，却着实难坏了我们。“要是知道坏球是较重还是较轻
就好了。”“是呀，就差一点了。”大家纷纷议论。只差这最后一步，
可就是不能成功，绞尽了脑汁、还是没有思路。这时孙老师启发我们“不
知道轻重，又要把它找出来，就得充分利用每一次机会，争取既缩小范
围又判断轻重”。这种一箭双雕的想法给了我们很大的启发，很快大家
纷纷找到了不同的解法。孙老师让每个人轮流到黑板上讲解自己的方法，
大家互相取长补短。在以后的教学中，他也是这么做的。任何一个问题
都是由我们自己来解决，在课堂上同学们互相交流，孙老师要求我们不
仅要讲清楚解法、一定要讲出来是怎么想出来的，即思路是什么。他经
常强调，没有思路的解法是瞎蒙的，对于其他问题毫无用处。在讲课的
时候，孙老师总是把他解题的每一步思考过程展现出来，让我们了解他
每一步的想法，看到哪里“碰壁”了，在哪里有了突破，由此我们知道
每一个新颖的解法的完成都是自然而然、顺理成章的，决不是碰巧凑出
来的。
有许多数学题的解法不只一种，他总是提倡一题多解，鼓励同学们
提出不同的方法，有时一道题的方法竟多达七八种，分别从不同的角度
入手，面貌迥异。每逢此时，孙老师又给我们提出新的课题，让我们找
到各种解法之间的联系，直到我们发现它们共同的本质，完成多解归一
的过程。
面对许多中学教师题海战术式的教学方法，孙老师走出了他自己的
一条新路。他总是说；做题不在多，而在于把每一道题都做透彻，一般
的步骤应当是：一题多解。多解归一多题一解，多题归一。上面我们已
经看到了一题多解和多解归一，那什么叫多题一解呢？不同的题有一个
解法吗？当然不是。在一题多解的过程中，我们看到，许多题目有着一
种或几种本质上相同或相似的方法，也可能是其中的某些步骤有着共同
的特点。在充分剖析之后，就形成了某些固定的思路和技巧，并把它们
增添到我们的“武器库”中，这样多题一解和多题归一也就不难理解了。
这样的小技巧有许多，尤其是在解决平面几何问题的时候，孙老师
经过多年的潜心研究，总结了一套解题的规律，他称之为“表”，共有
12 个左右，囊括了平面几何中的几乎全部方面：三角形、四边形、圆、
全等、相似等等。有了这些小规律，再加之正确的思考方法，中考难度
的几何题已不在话下。我们平时的学习中，也常常能发现新的技巧，为
我们的“武器库”不断增添新的成员。班里的每个人都会毫无保留地把
自己解题的心得奉献出来，与大家充分交流，这样同学在一起互相“传
染”聪明，共同提高。孙老师也从不拒绝每一个新的方法，哪怕十分繁
琐，我们总能从中吸取有益的东西，不断丰富自己。他还常常想出一些
打趣的话来帮助我们记忆冗长复杂的公式：在学习三角函数时，课本上
的加上老师补充的公式一共有130 多个，要熟记它们并非易事。孙老师
教给我们一些口诀，如“正弦喜欢花，余弦喜欢素”，等等，使我们很
容易的记住这130 多个公式。
孙老师十分注重培养同学们的逻辑思维能力，常常把一些题目的叙
述过程写下来，我们从中领略到它的技巧安排和严密结构，受益匪浅。
从师近8 年，收获最大的是想问题的方法，作学问的方法，它们不
仅适用于数学，其他学科也毫无例外。孙老师总是站在哲理的高度看问
题、找到统领一切的精髓。“一分为二”是“动的思想”的精华，他时
常教导我们要全面的看问题，不仅要看到好的一面，也要看到不好的一
面。“这不是天平，各占50％，而是轻重有别。”这正是我们哲学课讲
到的矛盾和矛盾的主要方面。“一分为二”的思想使我们能够更加全面
地看待每一个问题，让我受益终生。
每当学习一项新的内容时，孙老师总能不断联系以前学过的知识，
提示我们自己提出新的定理和公式，并让我们自己想出证明方法。有时
候，同学几乎成了课堂的主角，孙老师只是在一旁作插话。“把新问题
归结到旧知识的基础上”不仅用在解题和学习新课程时，在研究一些较
复杂的课题时也是十分重要的思考方法，这符合人们认识客观事物的基
本过程。
更重要的是，孙老师倡导在课堂上超前思维，向老师挑战。这使我
们在学习时处于主动地位，而不是被动地成为学习的奴隶。“向老师挑
战”，可能不为一般人理解，学生如何敢向老师发难？但是，在我们班，
老师和学生是平等的，孙老师十分欢迎同学给他挑错，有时甚至故意弄
出些错误看我们是否能够找到，这不仅给我们提供了锻炼的机会。也用
以检验我们听讲的效果。他让我们不要迷信权威，不要迷信课本，找出
课本里的一些不合理的地方，甚至是疏漏或错误。
“世界上没有没有为什么的事”这也是孙老师常挂在嘴边的一句话。
“为什么全等记号和相似记号相差一个等于号？”“为什么把‘角角边’
定理简写作‘AAS’？“为什么用左右颠倒的字母‘E’来表示‘存在’，
用上下颠倒的字母‘A’来表示任意？”等等。每件事都想想为什么，在
解决这些问题的过程中不断积累经验，学到更多新的知识。
孙老师的讲课最吸引人的地方要数他广阔的联想，从东周列国讲到
解放战争，从拿破仑讲到斯大林，从尼克松访华讲到雅各宾派专政，无
一不显现他渊博的知识和敏锐的头脑、这些看似和数学毫不相干，其实
它们和数学和其他学科都有着深刻的联系，可谓同出一辙。学科间本无
明显界限，它们总是互相交织，互相渗透，只有掌握其中的规律才能把
握内在的灵魂，做到知识越学越少，真正的从必然王国迈入自由王国。
1999 年6 月 于清华园
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