数列奇偶项问题的命门在哪里

我在《数列的奇偶性与周期性》里讲到了这样一道题：

它是2012年高考全国新课标理科卷的第16题，也就是俗称的填空题压轴题.

显然，我们要对n的奇偶进行讨论，也就是要用到奇偶分析法.

但更为重要的是，我们要明白的是，这类奇偶项相互交错的数列，解决它们的关键操作是什么？

答案就是：物以类聚，人以群分；路归路，桥归桥；奇数项和奇数项在一起，偶数项和偶数项在一起.

也就是说，我们要把奇数项和偶数项隔离开.

1

奇偶分析法

令n=2k-1得：

奇偶项混合在一起，分不开.

继续赋值，令n=2k得：

两式相减可以消去偶数项：

我们终于实现了奇数项在一起的目的.

上式表明：相邻的奇数项的和为2.

2

偶数项也要在一起

奇数项在一起了，偶数项也很羡慕：我们能不能在一起呢？

这也是能够办到的.

令n=2k得：

再令n=2k+1得：

上面两式相加得：

偶数项也欢天喜地地在一起了.

上式表明：相邻偶数项的和为一个等差数列.

3

求和顺其自然

回到本题的求和问题.

前60项的和就是把30个奇数项的和与30个偶数项的和加到一起.

回顾整个解题过程，关键步骤就是：

把奇数项和偶数项分开.

这就是解决奇偶项问题的绝招，就是它们的命门所在.