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初中奥数讲座专题篇之11
一道显然问题引起的思考
上海文来初中 相伟 万时凯
在数学解题过程, 会遇到许多显然的问题, 但要说清楚却并不容易.下面的例子是笔者近期在备课过程中遇到的一个精彩例子:
问题: 已知梯形ABCD为轴对称图形, 则梯形ABCD为等腰梯形.
问题尽管显然, 但要说清楚不易, 此问题对同学们的分类要求较高, 笔者课前预估课堂上同学们要说清楚这个问题会有一些难度. 在课堂上虽有多位同学说了自己的想法, 但说理都不合理, 于是我把这个问题留给感兴趣的同学们课后继续思考.
亲爱的读者朋友们, 你会如何说理? 建议大家先自己尝试写一写, 然后再看下文.
总会有个别学生会给老师带来惊喜! 第二天我班上陈石同学在我的办公桌上放了以下自己的解答:
点评: 陈石同学抓住轴对称图形的顶点只能与此图形的顶点对应进行分类, 切入点很好! 但其证明还有一些小瑕疵, 如在分类时没有考虑A与A是对应点的情形. 相信陈石同学在以后的学习中, 经过和大家的讨论交流思维会更加缜密!
我们实际上可以考虑更一般性的问题:
凸四边形满足什么条件时, 为轴对称图形? (后面的四边形均指凸四边形) .
解析: 合理选择分类标准是关键! 按照对称轴上点的数量分类为好.
显然对称轴l上的点为偶数个, 且不可能都在对称轴上.
(1) 当对称轴l上有两个顶点时, 要构成凸四边形, 则四个点的位置一定如图1, 顺时针连接各点得到四边形, 如图2, 此时四边形为筝形.
(2) 当对称轴l上没有顶点时, 则四点位置如图3, 顺时针连接各点如图4.
显然AD//BC, 若AD 等于 BC, 则四边形为矩形; 若AD不等于BC则四边形为等腰梯形.
综上, 如果四边形是轴对称图形, 那么该四边形为筝形、矩形或等腰梯形.
文中一开始的问题为上面问题的特殊情况, 因此, 梯形ABCD为轴对称图形, 则梯形ABCD为等腰梯形.
关于上述问题, 读者朋友若有其它想法, 欢迎联系我们和大家一起分享!
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