欧拉说，数学是科学之王；
伽利略说，数学是上帝用来书写宇宙的文字。
数学发展到现在，已经成为拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。借助数学，人们才能理解集合、结构、数量和变化等基本概念，进而对物质、运动、时间与空间的关系进行深入认识，发展出现代科学与技术。
绝大多数当代的科学家都承认，数学是人类认知宇宙最根本的工具。
甚至有人认为：
数学是一切，一切皆数学；
宇宙是一个数学结构，它有且仅有数学性质。
但是哥德尔却证明，数学体系是不完备的，而且永远没有完备的那一天。
这是否是对宇宙（以及意识）之谜的终极暗示？
大体说来，数学分为三大主要分支，其中研究数的部分（对应于离散的物质）属于代数学的范畴；研究形（对应于连续性的时空）的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算（对应于物质运动与时空的关系）的部分，属于分析学的范围。
这三大分支构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，通过数与形这两个概念与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科，支撑起整个现代科学与技术的大厦。
数学的起源无法考证，它甚至先于人类而存在。
一个有机体的生存取决于它感知周围环境的能力。但不管是野牛估量狮群的数量和块头，以便做出战斗/逃跑的决定;还是椋鸟在空中时刻与邻伴维持适当的距离，以便保持队形;或者羊群循着水草丰茂的路线觅食……所有这一切活动，都意味着在求解数学问题。
“因为数学有一种简单、节俭和对称的性质，如果你把它当作一种语言，会比其他描述世界的方法更胜一筹。从海豚到黏菌，几乎所有生命都能从数学上去理解这个世界，以便为自己的生存服务，” 伦敦大学神经学家卡尔·菲力斯顿说。
控制论提出一项原则：为了提供有效的控制，一个自动化系统必须先对自己与环境的作用，建立一个数学模型，才能据此行动。此后的人工智能研究，差不多都遵循了这条原则。今天，人类能在人工智能领域取得这么大的成就，也要归功于这条原则。既然机器人是通过“建模”与外部世界互动的，那么一个合理的推测是：
生物在某种程度上也是通过对其生存环境进行数学“建模”，来跟世界打交道。
举个例子。当一头野牛注意到一头狮子在逼近时，它就会本能地调动一个叫“逃跑/战斗”的决策机制，根据自己对狮子块头、距离远近以及对自己力量的估计，决定是逃跑还是战斗。这个决策机制，从功能上说，可看作是一个数学模型，输入“狮子块头”“距离”“自己的力量”等参数，输出“逃跑”或“战斗”的结果。任何一项参数改变，都可能导致输出结果不同。
既然是数学模型，当然就要对现实做些简化，不可能面面俱到。尤其对于生命来说，当危险临近时，迅速行动才是主要的，准确倒退居次要。譬如上述“逃跑/战斗”的模型中，考虑那三项因素大致就差不多了，至于“狮子毛色如何”，“天空会不会下雨”等因素，都可以不考虑。考虑因素太多，决策就慢下来，进而影响行动速度。
数学理论就是关于建模的理论。它描述了宇宙的一部分的特征，却又总是简化了其他大部分特征，“数与形”就是最主要两类特征，两者之间又总是存在深刻的冲突，弥补所述冲突成为推动人类认知水平进步最重要的推动力。直到今天，现代物理学的两大分支，偏向于“形“”的广义相对论与偏向于“数”的量子力学之间仍然存在无法弥合的裂隙。
最初，人类对数学的认识是从离散的物体开始的，因此数是先于形发展起来。这很好理解，离散的手指和可以清晰辨认的物体之间很容易建立一一对应的关系，进而扩展到人类对世间万物的理解。
“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”《周易·系辞下》这段话，记载了伏羲氏创作八卦的过程，实际上人类数学的起源大抵如此。
人类处理数的最早证据来自南非莱邦博山脉的博德山洞。在那里，考古学家们发现了年龄为4.4万的有缺口的骨头，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29个痕迹。人类学家认为，这些痕迹表明，这块骨头类似原始人的“账目棒”，是用来辅助计数的。说明那个时候人类就已经学会有意识地用符号表达和操纵数目了。
在古希腊，“重数轻形”的思潮达到了无以复加、匪夷所思的地步。公元前六世纪，毕达哥拉斯建立了一个秘密社团，被后人称为“毕达哥拉斯学派”。这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有，这在古希腊歧视妇女的社会风气中属于独树一帜。社团的组织纪律很严密，带有“政教合一”的色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。
他们相信，依靠数学可使灵魂升华，通过数学能窥探神的思想，万物都包含数，甚至万物都是数，数是变化多端的世界背后的真相。
毕达哥拉斯认为，“1”为万物之母，“2”是对立和否定的原则，“3”是万物的形体和形式，“4”是正义，“5”代表雄性和雌性的结合，“6”是灵魂，“7”是机会，“8”是和谐，“9”是理性和强大，“10”是完满和美好。
细心的读者可以发现，其中并没有对“0”的定义。现代人上小学的时候，数字“0”是直接和“12345”一起教授的，让人感觉“0”就是众多数字中的一员。但是在历史上产生这个概念可不容易，因为其中涉及到深刻的哲学（神学）基础。
数学家托拜厄斯.丹齐克（Tobias Danzig）在 《数：科学的语言》一书中评论道：“在人类的文明史中，0的发现永远是最伟大的成就之一。”
在西方历史的大部分时间里，他们都没有0的概念。0是一个抽象的概念，它在物质世界中是不可辨别的，没有人会去买0个苹果。它是一个必须被发明并不断传授给后代的象征。
公元前两千年，古巴比伦人已经发展出算术系统，但是他们未能将0概念化，他们使用两个符号以不同的排列方式来创建介于1到60之间的唯一数字：
巴比伦楔形文字是一种相对低效的数字系统，用它来计算是非常麻烦的。古希腊人的计数系统是十进制，但没有位值制的概念，导致记数方法非常落后，他们用27个古希腊字母α、β、γ等在其上画一横杠来表示数字，前9个字母分别表示1——9，中间9个字母表示10——90，后9个字母表示100——900，但按这种方式最大只能表示999。为了表示更大的数目，就用加“'”符号等的方法来补充。
古罗马人的计数方式相对古希腊人要简化一些，采用七个罗马字母作数字、即Ⅰ（1）、X（10）、C（100）、M（1000）、V（5）、L（50）、D（500）。仍然没有位值的概念，依靠加法来计数。所以古罗马人算术非常繁琐，请从以下的算式中，感受古罗马人接受数学教育时的痛苦：
尽管数字系统如此落后，毕达哥拉斯学派对“数”进行了疯狂的崇拜，将其视为至高无上的信条，凡是对此有质疑的信徒，都将受到严厉的惩罚。这个时期的“数”，占据着绝对的统治地位，而“形”只是作为“数”的依附而存在。
数的崇拜代表了古希腊人的宇宙观。古希腊人眼中的宇宙，是一个有限的、封闭的、静态（不是静止）的宇宙。
古希腊文明是地中海东部的次生文明，受到古埃及和古巴比伦的双重影响。希腊人从热衷于测量土地的埃及人那里继承了几何，从擅长记账的古巴比伦人那里继承了算术，并将两者糅合在一起。毕达哥拉斯被形状与数字之间的联系所迷惑，这就解释了为什么他们不把0看作一个数字：毕竟，什么形状可以代表虚无？
古希腊人认为，数字必须是可见的，才是真实的。
古希腊人坚持着一种不能容忍0或无限的世界观：拒绝这些关键概念被证明是他们最大的失败。因为0对有限宇宙的概念，构成了重大威胁。除以0将破坏逻辑框架，因此威胁到毕达哥拉斯世界观的完美秩序和完整性。
如果有了0，就可以自然引入无限的概念：通过实数轴和虚数轴围绕零的旋转，可以在数学上放大成一个称为黎曼球面的三维模型。在这种结构中，零和无穷大是彼此的几何反射，可以在数学排列的瞬间进行自我转置。
零与无限，是一对孪生子。
在东方哲学中，零与无限的血缘关系是自然而然的，如同阴和阳之间的转化与共生：只有在绝对空无的状态下，才有可能成为无限，一切事物都是无休止地交织在一起的，所有事物都是不可分割地相互联系，动态发展变化的。因此，没有任何一件事物可以真正地被视为独立，因为它具有其自身孤立的，非相互依赖的本质。按照这种观点，相互关系是证实的唯一来源。
毕达哥拉斯建立的有限的、封闭的、静态的宇宙观，存在深刻的内在矛盾。后世所谓的三大数学危机虽然爆发于不同年代，但是回本溯源的话，源头都在这里。其中第一次数学危机在毕达哥拉斯在世的时候已经爆发，这就是所谓的“无理数危机”。
毕达哥拉斯派的象征是五角星，五角星内的这个神圣形状，是他们观察宇宙的关键——黄金分割。
黄金分割或称黄金比例，被认为是“最美的数字”，它是通过划分一条线来实现的，这样小部分与大部分的比例与大部分与整体的比例相同。人们发现，这种比例不仅美观，而且自然地以各种形式出现，包括鹦鹉螺贝壳、菠萝以及（数千年后）被发现的DNA双螺旋。这种客观上纯洁的美，被认为是通向超验的一扇窗户。
黄金比例也存在于音乐和声中：当音乐家从特定的乐段中弹奏弦乐时，他们可以创造出完美的第五音符，这是一种双共振音符。另一方面，不和谐的三全音(Tritone)被嘲笑为“音乐中的魔鬼”。毕达哥拉斯进一步认为，由太阳、月亮、星辰的轨道和地球的距离之比，分别等于三种协和的音程，即八度音、五度音、四度音。
在毕达哥拉斯有限宇宙观中，这种音乐的和谐，被认为与数学和宇宙的和谐是一致的。从毕达哥拉斯的观点来看，“一切都是数字”，也就是说比率统治着宇宙。
基于毕达哥拉斯的“万物皆数”，进一步产生了理念论。
几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的；无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。这就提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实。即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别，可理喻的东西是完美的、永恒的，而可感知的东西则是有缺陷的。
理念是一，具体事物是多，理念是无生灭、不变动、不可划分、确定范围的、纯粹绝对的，是能明确表述的；而具体事物则是变化的、流动的，无法准确被表述的，是与理念完全相反的。
换句话说，理念论是对宇宙的数学建模，但是这套模型系统中抹去了“时间”这一维度，让人产生了“永恒不灭”的幻觉，进而发展为“上帝”这一神学概念：宇宙万物这种和谐一致的完美规律，难道不是一个完美的“造物主”创造的杰作吗？
（未完待续）
联系客服
