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在△ABC中,AB⊥BC,∠C=45°,点E是BC边上的一点(不含端点),F是AC上一点,将线段AB绕点B顺时旋转ɑ得到线段BD,连接CD
(1) 如图1,已知ɑ=135°,连接DE、EF,若D、E、F三点共线,DF⊥BC,垂足为E,且CF=2
,,求CD的长;(2) 如图2,将△ABC沿着AC翻折得△MAC,若E、N分别为BC、MC的中点,连接AN、ME交AN、AC于点P、F,连接CP,若∠BCD=∠BAP,求证:
CP+2PM=2CD(3) 如图3,已知ɑ=150°,AB=2,连接DC、DE,G为射线DE上一点,连接GC、GB,将线段BC沿着CG翻折得到CB′,若点B′落在DE的延长线上,当DG取最大值时,连接GA,P是△ABG内部一动点,请直接写出
的最小值解:(1)设BE=m,则AB=m+2,
得m=5或-7(舍),DE=5,故CD=
(2) 作BG⊥CD,CH⊥EM于点H,由BD=BC知CD=2CG,∠BCD=∠BAP,∠BAP=∠MNP=∠MCH,即∠MCH=∠BCG,故△MCH≌△BCG,CH=CG,同时△APM≌△MHC,MP=CH,MP=CH;而tan∠MCH=2,MH=2CH,故PH=CH,即有PC=
CH,故CD-PM=CD-CG=CH=PC,故CP+2PM=2CD(3) 如图,由CB=CD=CB,知∠1=∠2=∠3,故点C、D、B、G四点共圆,圆心为O,当D、O、G共线时,DG可取最大值;此时E为BC的中点,∠4=30°;
如图,将△ABP绕点A顺时针旋转90°,同时缩小为原来的一半,即△AIJ,此时PI=
PA,IJ=PB,PG+PB+PA=PG+PI+IJ,当点G、P、I、J共线时可取最小值,AJ=1,AN=1,EG=,GN=2-,故GJ2=点评:题目第二问以全等为考点,辅助线并不难想;而题目仍以加权线段最值问题为压轴,难度是有的,不过小编目前分享过好几道类似的题目了,同学们应该有一点感觉了.
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