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如图,在等腰△ABC中AB=AC,延长边AB于点D,延长边CA至点E,连接DE,若AD=BC=CE=DE,求证:∠BAC=100°
解:方法一:过点C、D分别作BD、BC的平行线交于点F,连接EF,易知BDCF为平行四边形,DF=BC,BD=CF;设∠ACB=α,则∠DAE=∠ACF=2;AD=CE,AB=AC得AE=BD,故AE=CF,故△ADE≌△EFC,故EF=DE,故△DEF为等边三角形,即有60°+3α=180°得α=40°,故∠BAC=100°
方法二:作BF||DE,EF||BD于点F,连接CF,易知BDEF为平行四边形,AD=CE,AB=AC得AE=BD,同时BD=EF,故EF=AE;同时∠CEF=∠DAE=2α,故△ADE≌△ECF,CF=DE,故△BCF为等边三角形,180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°
方法三:作平行四边形CEDF,连接BF,DE=EC知DECF为菱形,易得△ADE≌△DFB,得BF=AD,而CF=DE,CB=DE得△BCF为等边三角形,180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°
方法四:作平行四边形BCEF,连接DF、BF,BF=EC,而EC=DE,故DE=BF,∠DBF=∠DAE=2;又EC=AD,AB=AC,得AE=BD,故△ADE≌△BFD,DF=AD,故△DEF为等边三角形,180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°
方法五:作△DEF,使EF=ED,且∠DEF=∠ADE,易知△ADE≌△FED,DF=AE,而CE=AD,AB=AC得AE=BD,故DF=BD,易知∠BDF=2α-(180°-4α)=6α-180°,∠DBF=180°-3α,由此可得∠CBF=2α,同时∠BCF=180°-4α=∠DEF,故△DFE≌△BFC,得CF=EF,故△CEF为等边三角形,180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°
方法六:作△ACF,使CF=AC且∠ACF=∠BAC,连接FB并延长交DE于点G,易知AC||BF,而∠DAE=∠DEA,∠DAE+∠BAC=180°,故∠DEA+∠ACF=180°,故GE||CF,故ECFG为平行四边形,于是GF=EC,而EC=AD,故GF=AD;同时∠DGF=∠DEA,又∠DGF=∠EAD,故△ADE≌△GFD,得DF=AD,故△ADF为等边三角形,180°-4α+α=60°,α=40°,故∠BAC=100°
方法七:作△CED的平分线交AB于点F,交BC于点G,连接CF,故△EFC≌△EFD;△CFE≌△CFB,于是EF=BF,而CB=DE,故△EFD≌△BFC,故∠D=∠BCF=
α,故可得α=40°,故∠BAC=100°方法八:取△DEC的平分线交BC于点F,易知△EFC≌△EFD,△CAB≌△CFE,得CF=CA,得BF=AE,同时∠EAG=∠BFG=4ɑ,知△AGE≌△FGB,得BF=AE;而AD=CE,AB=AC得AE=BD,故BD=BF,∠FDF=ɑ,故∠ADE=ɑ,故ɑ=20°,故∠BAC=100°
方法9:作等腰△AEF,使AF=AE,且∠EAF=∠BAC,连接FB、FC,BE,易知△AEB≌△AFC,BE=CF;易知β=90°-
α-α=90°-α,∠BED=2α-(90°-α)=α-90°,∠BCF=α-β=α-(90°-α)=α-90°,即有∠BED=∠BCF,故△BDE≌△FBC,∠CBF=∠D,BD=BF,而BD=AE,故BF=AE=AF,∠CBF=∠BAF=D=180°-4α,故2(180°-4α)=α,得α=40°,故∠BAC=100°方法10:作等腰△DEF,使DF=DE,∠FDE=∠C=α,连接FA、FD,可知△DEF≌△CBE,EF=BE;由CE=AD,AB=AC得BD=AE;而∠AEF=∠DBE,故△AEF≌△DBE,AF=AD,故△ADF为等边三角形,于是可得α=40°,故∠BAC=100°
方法十一:在BC上取点F使BF=BD,以AF为边作等腰△AFG且使∠FAG=∠BAC,连接GC,易知△ABF≌△ACG,BF=CG;而AD=CE,AB=AC,BE=AE,故CG=AE;∠BCG=∠E=4α,BC=DE,故△BCG≌△DEA,于是∠CBG=∠ADE,BG=AD;易知CF=CA,于是∠AFC=90°-2α,可得∠BAF=180°-(90°-α)-4α=90°-3α,而∠BGA=90°+α-4α,故∠AGB=∠DAF,故△ABG≌△FAD,故∠ABG=∠ADF=α,于是∠CBG=α,∠DAE=α,故α=20°,故∠BAC=100°
11种方法解决一道几何经典题.pdf
点评:此题的基本原理并不复杂,但辅助线的方法较多,每一种辅助线表示一种思路,每一种思路都是对条件的处理方式,特别值得同学们深入研究与思考.
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