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如图1,在矩形ABCD中,CD=
BC=4,点E、G分别是AD、AB的中点,过点E、G分别作EF⊥AD,GF⊥AB,FG与EF交于点F,连接CF特别感知
(1) 以下结论中正确的序号有_______;
①四边形AGFE是矩形;②矩形ABCD与四边形AGFE位似;③以ED、CF、BG为边围成的三角形不是直角三角形
类比发现
(2) 如图2,将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转,连接BG,观察CF与BG之间的数量关系和位置关系,并说明你的发现;
拓展应用
(3) 连接CE,当CE的长度最大时,
①求BG的长度;②连接AC、AF、CF,若在△ACF内存在一点P,使CP+AP+
PF的值最小,并求出最小值.解:(1)①②
(2)连接AF、AC,易知AF:AG=AC:AB=2:
,同时∠BAC=∠GAF,故∠CAF=∠BAG,故△BAG~△CAF,故CF:BG=2:(3)易知点E在以A为圆心,2为半径的圆上运动,当C、A、E共线时,CE取最大值,当CE最大时,AC=8,EF=2
,故CF=4,故BG=2②将AP绕点A旋转30°至M且使AM=
AP,连接PM,易知PM=PA;同时将AF绕点A旋转30°点N且使AN=AM,易得△APF~△AMN,得NM=PF,故PA+PC+PF=PC+PM+MN,当C、P、M、N共线时,故最小值,即CN,此时∠CAN=150°,AN=4,CN=4,故最小值为4点评:题目是以矩形为背景,考查手拉手相似,压轴一问则考查加权线段最值问题,构造是核心;而画图求解同样考验同学们的功底;
学习建议:加强画图、加深基本模型的认识,全面掌握线段最值问题的各类题型.
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