无数同学卡在第二问，不要觉得奇怪，难度相当大！

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在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°得到BE，连接DE与AB相交于点F

(1) 如图1，若D为AC的中点，∠BAC=90°，AC=4，BD=

，连接AE，求线段AE的长；

(2) 如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG、EC，若∠BAC<90°，EC⊥BG，∠ADE=∠DBC，∠DBC+∠G=∠EBF，证明：

BC=2AD+DC

(3) 如图3，若△ABC为等边三角形，AB=6

，点M为线段AC上一点，且2CM=AM,点P是直线BC上的动点，连接EP、MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时EPM的面积.

解：(1)过点E作EG⊥AB于点G，由∠ABD+∠ABE=90°，∠ABD+∠ADB=90°，得∠ABE=∠ADB，而BD=BE，∠EGB=∠BAD=90°得△ABD≌△GEB，故BG=AD=2，而EG=AB=5，得AG=3，故AE=

(2)

第一步：过点B作BH⊥BC且BH=BC，连接HE、HA，由∠CBH=∠DBE=90°，得∠HBE=∠CBD，而BD=BE，得△BEH≌△BDC；同时∠ADE=∠DBC，而∠ADE+∠BDE=∠DBC+∠BCD，故∠BCD=45°，于是H在CA的延长线上；

第二步：∠DBC+∠G=∠EBF，而∠DBC=∠HBE，∠EBF=∠HBE+∠EBA，于是得∠ABH=∠G；

第三步：BG⊥EC，∠ABD+∠ABE=90°，而∠ABE+∠BEC=90°，故∠BEC=∠GBD；而∠ABH+∠ABC=90°，∠BCE+∠ABC=90°，故∠BCE=∠ABH，于是∠BCE=∠G，又BE=BD，故△BCE≌△DGB，故DG=BC；

而BC=BH,得BH=DG，得△ADG≌△AHB，于是AD=AH，即有DH=2AD，于是

BC=2AD+DC

点评：这可能是很多同学见过的最复杂的线段和差关系的证明了，从条件再到辅助线，再到证明过程的书写，确实有相当大的难度；

(3)以BC为边作正△BCH，同时取点M关于BC的对称点M′，连接PM′，PM=PM′，PE+PM=PE+PM′；

作BQ⊥BA且BQ=BA，易知△BQE≌△BAD，∠Q=∠BAD=60°，由瓜豆原理知点E在直线QE上运动，当M′E⊥QE时，PE+PM取最小值，此时

点评：此题不仅考查了对称，还有瓜豆原理，结合了两者出题，确实对学生是巨大的考验.

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