在线计算专题(02)：数列、一元、多元函数极限的计算与连续性判定

极限的计算与函数连续性的讨论是高等数学、数学分析、微积分课程中讨论的重点，一直贯穿于整个课程学习过程。本文内容主要以实例的形式介绍用WolframAlpha计算数列、一元函数、多元函数的极限、判定极限的存在性和讨论函数的连续性. 其中一元函数包括左右极限的讨论和抽象符号函数极限的计算。

• 工具：WolframAlpha计算搜索引擎

• 位置：http://www.wolframalpha.com，打开网页直接操作，其中windows app也可以通过Windows 10应用商店下载安装！

特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

• 手机：可以直接打开网页操作，或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作

• 执行界面：网页、手机或平板等操作界面基本一致.

1、求数列的极限

例1 计算以下数列的极限：

输入表达式为

lim ((2n^(1/n)-1)^n)/(n^2), n->infinity

执行后的结果为1. 也可以将lim换成limit. 其中无穷大infinity也可以用两个字母“oo”表示.

例2 计算以下数列的极限：

输入表达式为

lim n/((n!)^(1/n)), n->infinity

执行后的结果为e.

例3 计算以下数列的极限：

输入表达式为

lim sum(1/(k^(1/2)),k=n^2 to (n+1)^2),n->infinity

执行后的结果为2. 前面也可以加上lim或limit来执行计算.

例4 计算以下数列的极限：

输入表达式为

product 1-1/k^2,k=2 to n,n->Infinity

执行后的结果为1/2.

2、一元函数的极限和连续性

例1 计算以下函数的极限：

输入表达式为

lim (e^(-x))*(1+1/x)^(x^2), x->infinity

执行后的结果为.

例2 指出以下函数的间断点及其类型.

从函数表达式可以看到, 为其间断点，输入表达式

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->0-

得如下结果

从图中可以看到

所以是跳跃间断点，并且从下面的图中还可以看到为无穷间断点. 比如，输入以下表达式可以验证. 即

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->-1+

计算得到结果如下.

从极限结果可以看到处左右极限分别为正负无穷大，并且图形中明确用箭头标明函数是趋于负无穷大.

【注】 对于左右极限不相等的极限，如果不区分左右极限，则计算会显示极限不存在，一般会直接分别给出左右极限值，如果存在则直接给出极限值. 如输入

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->1

显示极限存在，但是在图形中用小红空间圆圈标记为可去间断点. 如下图所示.

而输入

lim e^(1/(1-x)), x->1

则计算结果如下

标明极限不存在，但是有左极限为正无穷大，右极限为0.

例3  计算以下极限：

输入表达式为

lim (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2,h->0

执行后的结果显示为. 以解析式形式计算得到结果.

3、多元函数的极限

例1 计算以下函数的极限：

输入表达式为

lim log(x+e^y)/((x^2+y^2)^(1/2)), (x,y)->(1,0)

执行后的结果为ln2.

例2 计算以下函数的极限：

输入表达式为

lim (x+y)/(x-y),(x,y)->(0,0)

执行后的结果显示函数的极限不存在. 用代入后，输入表达式

lim (x+k x)/(x-k x),x->0

计算得到结果为

表明取不同值，有不同的极限值，所以极限不存在.