组合数的序号问题

分类： 组合数学 2006-04-08 16:15 980人阅读 评论(2) 收藏 举报

这里我们要处理的是把从{1,2,…,n}抽取r个数的所有组合按字典序排序，注意每个组合都保证是升序排列。问题是给定一个组合，确定其在所有组合中的序号？比如：n=4，r=2，所有组合按字典序排列如下

{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},

组合{2,4}的序号为5。一般而言，令

则可得如下递推公式：

令

因此递推公式可重新表述为

反复用这个公式可得

从而只要计算了帕斯卡矩阵，就可以快速获得任意的组合数了。

由于[n]的r子集有r个数，所以至少要做 次操作。借助于这个办法，组合数序号的计算方法的时间复杂度：加减法次数seta(r)，其中seta表示与r同阶。

    它可以被用在动态规划法求TSP之中，借助于它就能够实现一般参考书上所说的时间复杂度。TSP的具体实现见附录1。

附录---MATLAB代码

function [pmin,pvmin]=tspdp(D)

%TSPDP  旅行销售员问题（TSP）的动态规划（Dynamic Programming）算法的递推实现

%

%    [pmin, pvmin] = tspdp( D )

%    输入参数：D --- 两两城市之间的距离矩阵，双精度二维数组

%    输出参数：pmin --- 最短路线双精度，一维行数组

%             pvmin --- 最短距离，双精度数

%

%    Example: [pmin,pvmin]=tspdp(rand(5))

%

%   注意：经分析，其时间复杂度为O(n*2^n)，也就是说n 每增大1，运行时间大致上变成

%   原来的2 倍。因此，n不能太大，当取在12以内时，速度很快。若用C++等实现,在20以

%   内都可以接受。

 

n=length(D);

pasmat=pascal(n+1);

fP=calfP(D,pasmat);

pvmin=inf;

for j=1:n-1

    v=fP{n-1}(j,1)+D(j,n);

    if pvmin>v

        pvmin=v;

        jmin=j;

    end

end

pmin=zeros(1,n+1);

pmin(n:n+1)=[jmin, n];

C=1:n-1;

for j=n-1:-1:1

    Csn=combineseqnum(C,n-1,j,pasmat);

    I=find(pmin(j+1)==C);

    pmin(j)=fP{j}(I,2,Csn);

    C(I)=[];

end

 %------------------------------------------------------------------------

function fP=calfP(D,pasmat)

n=length(D);

for k=1:n-1

    fP{k}=zeros(k,2,pasmat(k+1,n-k));

end

for Csn=1:n-1

    fP{1}(:,:,Csn)=[D(n,Csn),n];

end

 

for k=2:n-1

    C=zeros(1,k);

    Csn=0;

    curi=1;

    while curi

        if C(curi)>=n-1-k+curi

            curi=curi-1;

        else

            C(curi:end)=C(curi)+1:C(curi)+1+k-curi;

            curi=k;

           

            Csn=Csn+1;

            S=C(2:k);

            for I=1:k

                CI=C(I); %后面要重复使用

                Ssn=combineseqnum(S,n-1,k-1,pasmat);

                vmin=inf;

                for j=1:k-1

                    v=fP{k-1}(j,1,Ssn)+D(S(j),CI);

                    if vmin>v

                        vmin=v;

                        jmin=S(j);

                    end

                end

                fP{k}(I,:,Csn)=[vmin, jmin];

                if I<k

                    S(I)=CI;

                end

            end

        end

    end

end

%-----------------------------------------------------------------------

function sn=combineseqnum(p,n,r,pasmat)

%COMBINESEQNUM    求{1,2,...,n}中抽取r个数构成的组合在所有组合（升序）按字典序排

%                 序后所处的序号（从1开始编号）。

%

%    sn = combineseqnum(p , n)

%    输入参数：p --- {1,2,...,n}的一个组合，用数值向量表示，行或列均可，要求按

%                   升序排列

%             n --- 元素的个数，即{1,2,...,n}中的 n

%             r --- p中元素的个数

%             pasmat --- 帕斯卡矩阵

%    输出参数：sn --- p在所有组合中的按字典序排序后的编号

%

%    Example: sn=combineseqnum([1 3],4)

%

if r>1

    sn=pasmat(r+1,n-r+1);

    for I=1:r

        nn=n-p(I);

        rr=r+1-I;

        if nn>=rr

            sn=sn-pasmat(rr+1,nn-rr+1);

        end

    end

else

    sn=p;

end