黏弹性流体数值模拟理论

黏弹性流体是一种常见的非牛顿流体，具有很多与牛顿流体截然迥异的独特流变学特性。

爬杆现象（左：牛顿流体；右：黏弹性流体）

无管虹吸现象（左：牛顿流体；右：黏弹性流体）

黏弹性流体的独特流态为不同工程领域的流动控制提供了新思路，其应用前景十分广泛，已成为当今流体动力学领域的研究热点之一。比如说：

（1）黏弹性流体湍流减阻效应在集中供热/供冷系统、长距离液体输运系统及船体减阻等领域具有重要的应用价值；

（2）弹性湍流为微小尺度传热传质、熔融铸造的控制及提高原油采收率等领域提供了新的理论和方法。

黏弹性流体流动数值模拟可以为湍流减阻、弹性湍流等问题研究提供有效的理论指导。关于黏弹性流体的连续性方程与动量方程为（基于外尺度无量纲）

其中

目前，黏弹性流体流动数值模拟主要采用基于连续性介质假设的宏观本构模型，例如Oldroyd-B模型：

其中

弹性应力张量与构象张量之间的关系式为

其中β为溶质与溶剂对溶液零剪切黏度贡献比。

魏森贝格数数（Wi）是表征黏弹性流体流动的重要无量纲参数。在“1”量级的低Wi工况下，黏弹性流体流动数值模拟很容易失去稳定性而发散。

相比之下，高魏森贝格数问题（High-Weissenberg Number Problem，HWNP）带来的挑战则更为严峻。HWNP自提出以来已经研究了四十多年，但是其根本成因依然不能确定，甚至HWNP是纯粹的数值现象还是本构模型问题依然存在争议。

黏弹性流体宏观本构方程具有双曲型特性，因没有耗散项计算得到的构象张量场往往不光滑，允许间断。研究逐渐发现HWNP与构象张量随着计算误差累计而逐渐失去对称正定性有关，基于此提出了众多方法来保障对称正定性，例如人工黏性方法、后验修正方法、保正定插值方法和有界性离散方法等。

Fattal与Kupferman观察到构象张量在高变形率区域与流场几何奇异点附近具有指数方式的发展规律，认为使用多项式逼近构象张量的数值模拟方法无法准确描述构象张量，提出了对数构象表示（log-conformation representation，LCR）方法。

LCR方法使用构象张量矩阵的对数矩阵将物理域本构方程映射到对数域进行求解，将求解得到的对数构象张量映射回物理空间可以保证构象张量的对称正定性，不丧失其物理意义。对数构象表示法是一项重大突破，为稳定地模拟黏弹性流体流动开辟了新的方向。

Fattal与Kupferman将本构方程分解为对流项、旋转项、拉伸项与源项四部分：

基于对数构象张量的微分是构象张量微分的线性变换这一事实，逐一映射到对数空间，然后合并得到对数构象本构方程：

其中，对数构象定义为

更加详细的信息可以参考以下文献：

Fattal R , Kupferman R . Constitutive laws for the matrix-logarithm of the conformation tensor [J]. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2004, 123(2-3):281-285.

为了更好地理解与分析该方法，我们从对数构象的级数定义角度给出一个更加直接的推导过程。根据对数构象张量的级数展开式可以将进行如下展开与整理：

利用关系式

将本构方程代入上述展开式，利用Ω的旋转特性，张量B、源项张量(c-I)/Wi与构象张量c的可交换性整理方程上述展开式可以得出与上一部分完全一致的对数构象控制方程。

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