如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，AC=10，现将Rt△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度得到△DBE使得DE正好经过点A，连接CD，求CD长度；
题目并没有什么难度，其实有些同学平时肯定见过这种题，不过刚好在竞赛题中碰到了，就拿出来给同学们分享一下解析过程；
为什么要分享这道题，看完这道题的时候，老师有很多想法，所以为了将这些想法一一呈现给同学们，后面会根据题目进行扩展，估计这一次解题文章字数可能会成为以往几百篇中最长的一篇；
老师第一时间想到的有2种方法，我们接下来分别来试试；
解析：
首先由条件可知△ABC三边长度，AC=10，AB=5，BC=5√3
方法一：过D向BC所在直线做垂线，强制构造Rt三角形
如图，只要知道DF和CF即可搞定CD
那么观察DF和CF，DF在Rt△DBF中，而CF由BF和BC组成，
所以关键点为求出DF和BF长度
而我们只知道BD=AB=5，外加∠BDE=60°，所以△ABD为等边
那么∠ABD=60°
所以∠DBF=30°
那么可得DF=5/2，BF=5(√3)/2
则CF=15(√3)/2
在Rt△DFC中，勾股定理解出CD=5√7；
方法二：通过连线使CD成为Rt三角形斜边
连接CE
如图，根据刚才的方法一可知∠ABD=60°，则∠EBC也为60°
所以△BCE为等边
则∠BEC=60°，且CE=BC=5√3
所以∠DEC=90°
在Rt△DEC中，DE=AC=10，CE=5√3
勾股定理解决CD=5√7；
所以，题目整体不难，关键是题上给出了60°这个有利条件。
那么，如果我们将题目改一下，不给出角度，只给出△ABC的两条边，那么是不是还能这么解决呢？
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=30，AC=50，现将Rt△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度得到△DBE使得DE正好经过点A，连接CD，求CD长度；
现在没有60°角了，只有AB=30，AC=50，那么可知BC=40
那么这种情况下，将CD放入Rt三角形中并求出两条直角边就没有刚才那么容易了
首先∠ABD我们都不知道是多少度，可能有同学能想到利用方法一仍然可以解出来，只不过计算会多点，但是这里我们不采用方法一，仍然用方法二；
虽然我们不知道角的度数，但是我们知道△ABC三边关系，三角函数总可以用吧，
那么我们还连接CE
如图，那么在这种没有角度的情况下要得到△DEC是直角三角形，就只能借助角之间的关系了
首先我们知道△ABD和△CBE都是等腰三角形
而且顶角∠ABD=∠CBE
所以可得∠CEB=∠BDA
因此仍然可得∠CEB+∠BED=90°
所以△CDE还是Rt三角形
但是CE长度现在不是一眼看出的了，需要通过计算得到
既然△BCE是等腰，那么就过B向CE做垂线吧
三线合一不用多说了吧，同时△BCF和△DBE相似吧，那么三角函数值通用，
可计算得出CF长度24，则CE=48
so，CD长度勾股定理可解；
那么我们总结一下，刚才是两种不同的Rt三角形，连接CE后都能将CD放入直角三角形，如果是任意的Rt三角形这样旋转是不是都可以这样构造呢？
不管△ABC的两个锐角如何，我们都知道旋转后的△BAD和△CBE都是等腰，而且顶角相等，所以底角也相等，结合△ABD的底角与∠BED互余，可得△BCE的底角与∠BED也互余，因此△CDE是Rt三角形成立；
这算是我们通过这道题的学习，得到的意外收获吧，所以记清楚了以后说不定就直接用上了。
最后再升级一下难度，如果这次不是Rt三角形，而是一个锐角△ABC，已知三边长度，假如AB=7，AC=11，BC=13，仍然逆时针旋转△ABC到△DBE的位置，使DE过A，求CD长度；
这样一来，这题可就不简单了，再去连接CE可就没有Rt三角形了，所以我们只能借助方法一，过D向BC所在直线作垂线
同样，我们需要搞定DF和BF，但是现在的Rt△DBF可仅知道BD长度为7，三角函数值一个也不知道，所以借助三角函数现在行不通了，除非你已经学会了高中的正余弦定理；
那么我们就借助初中的知识来解决它，鉴于计算比较复杂，老师就不提供计算结果，只说明可以得到哪些线段数据，
那么，首先我们还是要借助△ABD和△BCE这等腰三角形，起码咱们可以计算一下AD和CE长度吧
如图，老师将三线合一也给大家做出来了
所以我们只要得到DM和CN，即可知道AD和CE长度，要求出它俩，这得借助三角函数值，根据前面的经验，我们知道∠BCE=∠BDA，所以搞定它们的三角函数值即可，而这两个角又等于∠ABC，所以我们需要借助已知条件来搞定∠ABC的三角函数值，那么我们过A向BC作垂线
如图，我们可以根据△ABP和△APC都是直角三角形，分别用勾股定理表示AP建立方程，假设BP=x，则PC=13-x
那么两个三角形中勾股定理分别表示AP后可解出x的值
有了BP的长度，则AP长度可知，那么∠ABP的正弦值和余弦值都可知，
则DM和CN可得，即AD和CE可得
这里可能有的同学会问：咱们要CE长度干嘛，好像和DF没关系吧？
那么大家可以看一下DF，我们只知道BD长度，要同时求出DF和BF，还不知道角的三角函数值，肯定不能直接解决，那么这里就出现了比较难想到的知识点，怎么才能求出DF的长度？
勾股定理肯定是不现实的，所以我们只能从线段比例入手，观察DF是个垂线，AP也是个垂线，咋这么巧合呢？
要是再来一条垂线，是不是就构成三条平行线截取线段比例了？
所以我们过E向BC做垂线
如图，现在我们需要求出EQ长度，明显EQ是△BCE的高，所以根据刚才得到的CN，可得CE长度，同时还能算出BN，根据面积法可计算出EQ长度
那么线段比例呢？
根据刚才的AD长度，可得AE长度
所以根据DF//AP//EQ可得
AE：DE=AP：DF
解出DF
则BF可得
那么CF就OK了
Rt△DFC中，勾股定理解决CD即可；
计算上肯定比较复杂了，临时想到的改编，没有合适数据，所以不提供计算过程，同学们能掌握方法即可；
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