初中数学课堂中如何培养学生的数学思维

2011-08-18

初中数学课堂中如何培养学生的数学思维
【专题名称】初中数学教与学
【专 题 号】G352
【复印期号】2011年01期
【原文出处】《新课程:教师版》(太原)2010年8期第23~24页
【作者简介】黄朝清,广东省东莞市清溪中学。
【关 键 词】EEUU


    我们知道,能力是顺利完成某种活动所必需的,并直接影响活动效率的个性心理特征。数学能力是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合,而其中数学思维能力是数学能力的核心。
    在我们的课堂教学中,由于受应试教育影响,一部分数学教师并没有将学生思维训练放在核心地位,而是跟着考试走。结果造成:学生不是围着书本和教师转,就是陷入题海之中,不能自拔,不能多方面去灵活解题。更有甚者是满足于一知半解,对概念不求甚解,依葫芦画瓢做题,不去领会解题方法的实质;或不善于把所学的内容归纳整理。久而久之,学生的思维得不到培养和发展,以至于学生思维封闭、惰性、僵化、凌乱、保守,数学课堂的教学效果得不到巩固与提高。
    笔者从多年的初中数学教学中感受尤深,认为初中数学课堂教学必须培养好学生的数学思维。那么,在数学课堂教学中,如何培养学生的数学思维能力呢?
    1.让学生体验发现与创新,培养研究性思维方式
    数学探索能力是数学思维能力中最富有创造性的要素,也是最难培养和发展的要素。探索能力强的学生,能迅速从一种心理运算转到另一种心理运算,表现出较强的灵活性,在对思维活动的定向、调节和控制上,有较强的监控能力,对思维过程有较强的自我意识,善于提出问题,敢于大胆猜想。让学生体验发现与创新,能不断地培养学生的思维品质,发展思维能力,而对某一类问题的深入探索,更能有效地培养学生创造精神,发展创新思维能力。因而要多鼓励学生敢于发表不同的见解。在探索活动中,教师要加强在学生理解知识出现困惑时给予解惑,并对数学理解进行反思,根据新课程理念和学生实际,开发利用教材的探索内涵,如圆周率为什么是3.1415……而不是其他?进而得出,圆周率是怎样计算出来的?引出要学的几何知识。应该说,学生上小学时就能背出圆周率的近似值,但是如何计算出来的,学生是不懂的。这个问题就把《几何》的知识性、形象性、趣味性摆到学生的面前,引发学生开动脑筋,带着问题去学习钻研,从而在钻研的过程中提高学生的探索精神和能力。
    2.利用认知冲突促进学生思维发展
    当呈现给学生的问题有几种可能性时,他们往往产生认知冲突,不知选择哪个,这样易引起最大限度的心理“不平衡”,能激发学生的求知欲和好奇心。而求知欲和好奇心又是激发思维活动的一种内在情感力量,它对思维具有激活和指向作用,冲突的解除过程就是认知结构自我调节和完善的过程,是理解深化的过程。
    如笔者在教授“不等式”时,针对学生学习不等式的理解程度创设教学情境来促进学生思维拓展。
    师:请解不等式a-2>5。
    生:a-2+2>5+2,即:a>7。
    师:为什么要在不等式两边加2呢?
    生:在不等式两边同时加1,或加10,或加100,总之不等式两边同时加上同样的数或等式,不等号的方向都不改变。
    师:如果在较大的一端加2,同时在较小的一端加比原来小的数(如加1),那么不等号的方向也不改变,例如:a-2+2>5+1,即a>6,而这与上面的算法结果就不同了,这是怎么回事?
    在这个数学情境中,学生的心理上产生了如下三种认知冲突:
    (1)就结果来说,a>7和a>6,哪个正确?
    (2)就方法来说,不等式两边同时加上一个数与不等式较大的一端加大数,较小的一端加小数哪个正确?
    (3)就两种解法来说,“a>b→a+c>b+c”与“a>b,c>d→a+c>b+d”哪个正确?
    这节课,学生思维活跃,课堂上呈现出情绪激昂、主动思维的气氛,最后,在教师的诱导下,以排除认知冲突为契机,加深了理解,弄清了不等式方向改变与不改变需要的条件,从而促进学生在认知的过程中,通过两者间的关联以增强思维的拓展性。
    3.加强建模思想,让学生形成思维与方法
    学生创造性思维的产生与发展既要依赖于扎实的丰富的基础知识和娴熟的技能技巧,还要懂得一般的思维方法,如分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理等。还要采取科学的培养措施,训练学生的求异思维,鼓励学生大胆质疑,培养学生善于标新立异,促进学生求同思维和求异思维的协调发展,促使学生有勇气探究,发现自己还未认识的知识。
    笔者就利用七年级数学中的一元一次方程解应用题这个知识点,来加强学生的数学建模思想,培养学生运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。
    运用一元一次方程解应用题,是七年级数学的一个教学重点。应用题的学习,可以培养学生分析和解决数学问题的能力,而题目的分析和理解,又是一个思维转化的过程。列方程解应用题,要做到先审题找出问题中的已知数量是什么,求什么,关键是找出列方程的相等关系。列方程解应用题找相等关系是一个教学难点,何况有些数量关系比较隐蔽。突破难点的关键是弄清问题背景,分析清楚有关数量关系,特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。
    例1 某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
    分析及解:两件衣服共卖了240=120×2(元),是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱。如果进价大于售价就亏损,反之就盈利。关键是要弄清其中的数量,根据问题背景可知:商品的利润、进价、售价三者的关系是:售价二进价+利润,这也是此类问题的数学模型。
    假设一个商品的进价是100元,如果卖出后盈利25%,那么商品的利润是100×25%元,如果卖出后亏损25%,那么商品利润是100×(-25%)元。本问题中,设盈利25%的那件衣服的进价是x元,它的利润就是0.25x元。根据题意,列方程x+0.25x=120解得x=96(元);类似地,可设另一件衣服的进价y元,它的商品利润是-0.25y元;列出方程是y-0.25y=120,解得y=160(元),两件衣服的进价是x+y=96+160=256元,而两件衣服的售价是120+120=240元,进价大于售价,由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是亏损。
    随着市场经济的发展,经营活动越来越被人们重视。数学教学适当地结合这方面问题,可增加学生的经济意识和经营意识,增进学生对数学的兴趣,进一步体现了一元一次方程与生活实际的密切联系,加强数学建模思想,培养学生运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。
    4.以数学内容的多变灵活性培养学生的思维能力
    4.1 发散思维能力的培养
    如在学期末复习时,要精选一些具有代表性、巩固性和灵活性的习题,从各种不同角度,寻求不同的解(证)法,进行“一题多解”的训练,还可以改变条件进行“一题多变”和“多题一解”的训练,以培养学生的发散思维和综合思维能力。
    例2 一个多边形外角都等于30度,求它的边数。
    设多边形的边数为n,可以根据一个外角与其相邻内角互补、多边形内角的定义以及多边形内角和定理,列出方程(180-30)n=(n-2)180求解,还可以根据多边形内角和定理的推论,即多边形外角和的定理列出方程30n=360求解。通过对持有创造性解法的学生给予表扬,加以激励,他们就能逐步养成多角度观察、思考问题,探索采用多种方法解决问题的习惯,这样不仅可以提高学生的思想水平,而且可以发展学生立体思维和发散思维的能力。这是综合运用数学知识和方法,提高解题能力的重要措施。
    4.2 观察能力的培养
    虽然观察看起来是一种表面现象,但它是认识事物内部规律的基础,所以必须重视观察能力的训练。要训练学生会从一个题目的表面形式上进行观察,发现其特征,挖掘题目中的隐蔽条件,这样使学生对一些数学题不但能用常规方法解题,而且会采用特殊方法解题。
    例3 AD切⊙O于点A,BD过圆心O,AE⊥BD于点E,根据图形写出10个比例的式子。(一个比例式和由它变形得出的比例式,按一个式子计算)。
    


    分析:本题是一个结论开放的数学题,应注意观察图形,挖掘题中所隐含的条件:(1)∠BAC=90°,(2)∠OAD=90°,(3)AC与AB分别为△AED的内外角平分线,(4)∠ACD=∠BAD。这样可设计分离出四个基本图形:
    

    

    由图(1)(2)根据相似三角形的性质,可分别写出9个不同的比例式由图(3)根据三角形内、外角平分线性质可写出3个不同的比例式。由图(4)根据相似三角形的性质可写出3个不同的比例式。因此,此题一共可写出24个不同的比例式,也就不会出现写不出比例式或比例式重复写的情况了
    所以,在平时的教与学中,数学教师应注意指导学生学会观察、善于观察,通过观察发现题目特征,挖掘隐含条件,灵活寻找解题途径。只有这样,才能激发学生潜在的内因,提高学生的释题、解题能力。
    5.初中数学教学中培养学生的评价思维能力
    评价思维是一种较高级的思维活动。它是根据一定的评价标准,对可能的多种方案或结果做出某种判断的思维过程。在解题过程中,存在不同的突破口或几种可行的解题方案时,取哪种最优?当有多条思维时,何种最佳?当问题结论未显示时,何种结果概率较大?面临几种不同答案时,何种为正确的?
    例4 甲乙二人骑自行车从相距180千米的两地同时相向而行,丙骑摩托车与甲同时同向出发,遇乙后立即返回迎甲,遇甲后又立即返回迎乙……直到甲、乙二人相遇为止。若丙的速度为60千米/小时,甲、乙二人速度均为30千米/小时,求丙一共走了多少路程?
    解法一:丙与乙第一次相遇时,需要的时间为1801(30+60)=2(小时),这期间丙走了60×2=120(千米);从丙与乙第一次相遇,到与甲首次途中相遇,所需的时间为(180-30×4)/(30+60)=2/3(小时),这期间丙走了60×2/3=40(千米);从丙与甲首次途中相遇,到与乙第二次相遇所需时间为[180-30×2×(2+2/3)]/(30+60)=2/9(小时),在这期间丙走了60×2/9=40/3(千米)…,所以丙所行的路程一共为:120+40+40/3+…=120×1/(1-1/3)=180(千米)。
    解法二:丙行驶时间的总和等于甲、乙二人从出发到相遇所需的时间,设t小时甲、乙二人相遇。
    依题意:30t+30t=180
    解得
(小时)
    所以丙行驶的总路程为60×3=180(千米)。
    可见,解法二既严密又简捷。这说明了同一道题往往可以有多种解题通道,应根据简捷性的标准做出评价。评价思维是较发散思维更为高级的阶段,通过发散思维获得的若干方案,需要通过评价思维确立其可行性大小、合理程度如何,并做出评估判断。
    6.适当组织初中数学内容的课外实践性活动,提高学生的应用能力
    数学产生于客观世界,反过来又为客观世界服务,让学生将所学到的数学理论知识,到课外活动中去实践和应用,既能提高学习兴趣,又能巩固所学的理论知识,提高他们的综合素质。如在教学“相似形”时,可利用成比例线段,就地测量树木的高;或利用相似三角形或全等三角形测量不能直接到达的两点间的距离。学习《解直角三角形》一节后,布置学生做进行实地“测量学校旗杆高度”的作业。学完一元一次方程后,也可让学生做一回木器厂生产部的经理:
    例5 我木器厂现有木料5立方米,已知每立方米木料可做桌脚80条,或桌面5张,且一张桌面配4条脚,问:用多少立方米木料做桌脚?可做多少张成品桌?
    解 设用x立方米木料做桌脚,那么有(5-x)立方米木料做桌面。
    依题意:80x=4·(5-x)·5
    解得:x=1
    所以用1立方米木料做桌脚:1×80=80(条)
    用5-1=4立方米木料做桌面:4×5=20(张)
    答:用1立方米木料做桌脚,可做成品桌20张(你这个木器厂生产部经理太成功了!)
    这些活动,极大地激发了学生的兴趣,又巩固了他们的数学知识。
    总之,初中学生良好的数学思维能力不是一朝一夕就能形成的,但只要我们数学教师根据班级学生的实际情况,善用各种手段,坚持不懈,持之以恒,我们的数学课堂教学必定能结出丰硕的成果。


【参考文献】
    [1]杨宝军.把思维的空间留给学生——新课标下初中数学教学的一点思考[J].《吉林教学》,2006.06.
    [2]马昌胜.如何在初中数学教学中发展学生的数学思维[J].《甘肃教育》,2006.04.^NU1DA20110328
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