数学模型

小学数学教学中的数学建模初探

 

（重庆市开县铁桥镇中心小学      廖代礼）

 

随着科学技术的迅速发展，素质教育的逐步深入和完善，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代人的生产、工作、社会活动和教育活动中。对于数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力。<<九年义务教育数学课程标准>>指出，数学过程“不仅要考虑数学自身的特点，更应该遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面都得到进步和发展”。显然，作为一位基层的教育工作者来说，理解数学模型的含义，掌握建模的方法，在教育过程中建立小学生头脑中的数学模型和运用所建立的模型解决生活实际中的问题，已迫在眉睫了。因为，对于成长在素质教育背景下的学生来说，　数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的联系，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学，是对学生的想象力和洞察力强有力的培养；并且，在高科技、计算和建模，正在成为数学技术转化的主要途径，即“高科技本质上是数学技术”。这更证明了小学生建立数学模型的重要性。

那什么是数学建模呢？说法不一，至今还没有定论。有的认为数学模型是用数学语言、符号或图形等形式来刻画描述，反映特定的问题或具体事物之间的关系问题；有的认为数学模型是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的描述；还有的认为数学模型可以描述为对现实世界的一个特定对象，为一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设,应用适当的数学工具，得到的一个数学结构。在这三种定义中，我认为第三种定义更具有一般性和操作性，同时也给出了建模的方法。其实，这三种定义本身也是一个个数学模型。而实际上，小学数学中的模型，多数是些特定模型。在教学中，是对这些特定模型的重现，再创造和应用，理解了第一、第二中定义接已足够了。建立数学模型简称数学建模或建模.在教学中，如何完成小学生的建模呢？其一般的方法是：研究具体问题——建模——解释说明——举例验证。以下就是些建模的实例。

一、在“形”与“质”的探求中建模。

数学教学的完成和学生数学思维的形成都要经历从“形——质”的转变，即从直观形象思维到抽象思维的转变，特殊现象到一般规律的转变。“形”是质的载体，从形中看到事物的本质或内在规律；“质”是形的客观反映，从“质”中联想到事物的原型。只有使“形”和“质”的完美结合，才能建立牢固的模型，才能达到让学生独立解决实际问题的目的，使所学知识活起来。现代教育理论认为：最有效的学习，是学生对学习过程的体验，它能给予学生自主建构知识和情感的体验时空。体验，包括行为体验和内心体验。行为体验是一种实践行为，是一个亲身经历的动态过程；内心体验是将行为体验进行升华和内化过程。在小学数学教材里有许多需要学生体验的内容；如基本概念、计量单位等。

案例一：建立平角的概念模型

1、问题的提出。

在前面我们已学过了锐角、直角、钝角，有没有比钝角还大的角呢？若有，它是什么角？

2、借助事物在动态中建模。

（1）拿出一把折扇，慢慢的打开，让学生判断：折扇两条边形成了一个什么角？（如：锐角、直角、钝角）并说出怎样的角是锐角、直角、钝角？

（2）当折扇继续打开时，两条边在一条直线上时，问：“这是什么角？”

师：这就是我们要探讨的“平角”（板书）。

（3）拿出活动角，再打开，使两条边在一条直线上，问：“这是什么角？”

（4）然后，老师把活动角形所成的平角放在黑板上，照样子画出平角。问：“平角有几条边？”、“有几个顶点？”再仔细观察，这两条边有什么特点？

（5）最后再拿出活动角，转成（图1）时，问：这是什么角？多少度？再继续转动到（图2），又转了多少度？形成了一个什么角？一共多少度？平角是多少度？

（6）学生用橡皮泥和小棒摆一个平角。并说说平角的特点。

（7）通过刚才的操作，怎样用度数来定义平角呢？即：等于180度的角是平角。

（8）活动角转成平角的过程中，形成了几个直角？（看图2）你发现了什么？（1平角=（  ）直角））

3、解释模型。

181°的角是平角吗？179°的角是平角吗？等于180°的角呢？

4、验证模型（判断）。

（1）平角就是一条直线。                  （     ）

（2）直线就是平角。                      （     ）

（3）大于钝角的角就是平角。              （     ）

（4）两个直角可以拼成一个平角。          （     ）

一个角的大小或是什么角是用度数来区别的，是一个量化了的概念。在教学中，大量的教具直观展示，在（1）——（6）步中，主要是建立平角的形，即平角的两条边在一条直线上；在（7）——（8）步中，主要是让学生理解平角的质。用直角进行转换，亲身经历平角形成的动态过程，探讨平角的度数，形成内心的体验，从而达到平角概念模型的建立。形与质完美的结合在一起。

二、应用不完全归纳法，在思维的迁移和比较中建模。

案例二：商的变化规律一

1、复习积的变化规律（出示第（1）组算式）板书：

 

一个因数不变，另一个因数除以几，              除数不变，被除数除以几，

积也除以几。                          商也除以几。

（1）2   ×  8=16          （2） 16 ÷ 8=2

一个因数不变，另 ÷10↑↓×10                ÷10↑↓×10     除数不变，被除数

一个因数乘（或除      20  ×  8=160              160 ÷ 8=20   乘（或除以）几，

以）几，积也乘   ÷10↑↓ × 10             ÷10↑↓×10      商也乘（或除以）

（或除以）几。       200  ×  8=1600            1600 ÷  8=200

 

一个因数不变，另一个因数乘几，                  除数不变，被除数乘几，

积也乘几。                                     商也乘几。

 

（1）第（1）组算式是我们原来学过的积的变化规律，回顾一下知识的生成过程。从上往下看，积是怎样变化的？

（2）从下往上看，积又是怎样变化的呢？

（3）谁能用一句话将发现的两条规律概括为一条规律？

2、提出问题，研究问题。

我们已经研究了积的变化规律，在出发中，商是否也具有类似的变化规律呢？（板书：商的变化规律（一））

（1）若把第（1）组乘法算式改写成第（2）组除数不变的除法算式，怎样改写呢？

（2）请仔细观察第（2）组算式，从上往下看，你发现了什么？（如：除数都相同；160是16的10倍20也是2的10倍；被除数不断扩大，商也不断扩大等）

（3）小组交流，根据第（2）组算式中商随被除数的变化情况，将发现的规律用一句话概括出来。

（4）同理，如果从下往上看，又有什么规律呢？

3、整体概括建模。

问：“谁能用一句话将发现的两条规律概括为一条规律？”

4、巩固模型。

（1）用自己喜欢的方式读读记记这一模型。

（2）积的变化规律模型和商的变化规律模型的对比。

5、模型验证。

（1）你能根据商的变化规律，能在第（2）组算式下面写出一些除法算式吗？

（2）根据121÷11=11写出下列算式的商。

363÷11=          1089÷11=            606÷11=        

 在新课教学中，我们用“积的变化规律”的建模方式和思维方法，来达到建立“商的变化规律（一）”的模型，这是一种思维的迁移，是知识的自然生成过程，这是符合《标准》要求的，即“从已有的经验出发，让学生亲历将实际问题抽象成数学模型”。同时还应用了比较法，第（1）组和第（2）组算式内部之间的比较，找到积和商变化的实质。总之，都是在不完全归纳法的框架中探求问题，从而也印证了：“建模的方法不是单一的，而是多种方法相结合研究的产物”。

三、应用对应转换法建模。

对应转换法在数学教学中运用广泛，像小学数学中第二段的 字母表示数，用数量关系式之间存在的内在规律，都是用对应法给出的。并且，在第三学段的数学教学中，函数的学习，更是强调一一对应，部分文字表达是式被字母表达式所代替。从而也使难于理解、掌握解决的数学问题变得简单。所以，小学数学教学中更应对对应法进行渗透，为第三学段的教学和学生学习打下坚实的基础，增强中小学数学教学和学习的衔接。

案例三、速度、时间和路程的关系模型

题目：一列普通列车每小时行80千米，行了2小时，走了多少千米？

1、解题，提出问题。

每小时行80千米告诉的是什么？（速度）2小时呢？（时间）走了多少千米求的是什么量？（路程）三种量之间有什么关系？

2、在自主探求中建模。

（1）让学生自主探求，列出算式。

（2）为什么用乘法解题呢？（复习乘法的意义，找到解题的根源，同时与后面的模型进行比较埋下伏笔。）

（3）每小时行80千米表示“速度”，2小时表示“时间”，走了多少千米表示“路程”，你能用“速度”、“时间”、“路程”表示出这个乘法算式吗？

（4）学生在对应中写出关系式，再汇报，师板书。

这就是我们所学的第一个数量关系模型，学生用自己喜欢的方式记模型。

3、解释模型，使模型得以巩固。

再次分析题意：题目中告诉了哪两个已知条件？要求社么？接着再问：要求路程必须知道拿两个已知条件？

4、验证模型。

一架飞机每分钟飞行130千米，飞了1小时，飞多少千米？

5、模型的延伸。

（1）在“速度×时间=路程”的原型中，若已知“路程和速度”，怎样求时间呢？（路程÷速度=时间）为什么？（根据乘法算式写除法算式）同样，若已知“路程和时间”，怎样求速度呢（路程÷时间=速度）

（2）小结：在“速度×时间=路程”的原型中，若要求其中的一个量，必须知道另外两个量。

（3）验证：

一列高速列车3小时行了750千米，它的速度是多少？

6、第二次对应和转换，建立符号模型。

如果用v表示速度，t表示时间，s表示路程，上面的模型怎样转换呢？（学生独立完成）

板书：

80   ×    2    =    160（千米）        路程  ÷  速度  =  时间

                                              S    ÷   v    =   t

（速度） × （时间）=  （路程）                  

                                             路程  ÷  时间  =  速度

v     ×   t     =      s                 s    ÷   t    =   v

或      v•t=s

         vt=s

统观全模型的建立过程，第一学段是用乘法、除法的意义（概念模型）解决问题，到第二学段是用文字关系式模型解决问题，到了第三学段是用符号模型解决问题，使解决问题的方法变得简单，思维方式变得更简捷，更好操作。同时也说明了，中小学数学的联系是非常紧密的，不可分割，特别是在教学中更要注意前后知识的衔接。

以上建模，只是教学中的点点滴滴，不足挂齿。重要的是在教学中要时时处处找到数学模型，找到建模的方法，正如一位专家说过：“只要有解决数学问题的地方，就会有数学模型。”既然如此，那就为以后构建更多的数学模型而努力。