质量和能量等价性的初等推导

等价定律的以下推导以前没有发表过，它有两个优点。尽管它利用了狭义相对论的原理，但它并没有假定该理论的形式结构，而只用了三个先前已知的定律：

（1）动量守恒定律。

（2）辐射压力的表达式；也就是向固定方向运动的一组辐射的动量。

（3）著名的光行差表达式（地球运动对恒星表观位置的影响——布拉德利（Bradley））。

我们现在考虑以下的系统。让物体  相对[坐标]系  在空间中自由地静止。两组各有能量  的辐射  和  分别在正的和负的  方向运动，最终被  吸收。

通过这种吸收，  的能量增加了  。出于对称性的缘故，物体  相对于  保持静止。

现在我们从[坐标]系  来考察相同的过程，  以恒定速度  在  负方向相对  运动。对于  来说，过程描述如下：

物体  以速度  沿着正  方向运动。两组辐射的方向，在  中与  轴的夹角都是  。光行差定律说，在一阶近似下  （原文中的表达式误写为  ），其中  是光速。根据  中的考察， 我们知道  的速度  在吸收  和  后保持不变。

现在我们在坐标系  中将  方向的动量守恒定律应用到我们的系统。

I. 在吸收之前，设  的质量为  ；那么  就是  的动量的表达式（根据经典力学）。每一组辐射的能量为  ，因此，根据麦克斯韦理论的一个著名结论，它具有动量  。严格地讲这是  相对于  的动量。然而，当  远小于  时，相对于  的动量是相同的，除了一个二阶小量外（  与  相比）。这个动量的  分量为  或者为具有足够精度的  或  （除了一些高阶小量）。因此，  和  合起来具有  方向的动量  。因而，在吸收之前，系统的总动量为 II. 吸收之后，设  的质量为  。我们在这里预期质量会随着吸收能量  而增加（为了使得最终的结果是一致的，这是必要的）。系统在吸收之后的动量为 我们现在假定动量守恒定律成立并将它应用到  方向。这给出方程 或者 

这个方程表明了能量和质量的等价性。能量增加  与质量增加  联系在一起。因为根据通常的定义，能量可以加上一个任意常数，我们可以选择这个常数使得 

附注：

此文最初发表在1946年的Technion Journal。这里译自《Out of my later years》, 125-128页。翻译时参考了许良英等人编译的《爱因斯坦文集（第一卷）》，583-585页。爱因斯坦是在1905年文章《Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy Content?》中推导出质能方程的。可能是因为观念太具有颠覆性，标题上加了问号。在1905年的文章中，爱因斯坦构造了一个和本文类似的思想实验：物体发射两组辐射；然后分析了运动物体在发射前后动能的变化。发现动能减少，速度不变，进而推导出质量减小。用到了多普勒公式来联系不同参考系中辐射的能量。多普勒公式和本文中用到的光行差公式其实分别对应着光子四动量的洛伦兹变换的时间分量和空间分量。郭硕鸿的《电动力学》就是采用这种处理方式。本文采用了大量的低速近似，但是在1905年的文章中只在最后一步用了低速近似。