答疑（2022.3.29）——圆锥上的最短路径问题（附历年襄阳四中、五中自主招生考试数学试题下载）

公众号后台收到网友的留言，问题如下：

我们先来看看原题：

作为曲面上的最短路径问题，我们通常都是将它展开成平面图形进行研究，这里体现了转化的数学思想。具体到本题，我们沿AP将圆锥侧面展开，得到平面图形扇形，这样直接连接AB，根据两点之间线段最短，此时所画出来的路径就是我们的最短盘山公路。

我们在解题的过程中不能仅仅盯着问题本身，还要考虑在所给数据的情况下是否存在特殊的线段、特殊的角度等，如此才能帮助我们更快和更准确地分析解决问题。

本题中，大家必须注意到所给的数据是有用的，作用在于我们可以根据底面圆半径和母线长，求出∠APB的度数，并且会发现它是个特殊角——直角。从而在Rt△APB中很容易地求出盘山公路AB的长度。那么对于第二问，网友的疑惑在于题目给了上坡的速度和下坡的速度，如何使用？确切地讲，整段盘山公路，哪些是上坡，哪些是下坡？网友所提的用上下坡的算术平均速度来代替的做法是不可取的，因为上坡路程和下坡路程的不同，如此草率的平均不具备科学性。

由于∠APB=90°，我们过点P作PC⊥AB，其垂足点C是落在线段AB上的！由垂线段最短，即PC最短，可以得到在C点之前是离山顶越来越近，即走的是上坡路；在C点之后离山顶越来越远，即走的是下坡路。如此我们区分出上坡路和下坡路，进而计算出AC、BC的长度即可求得相应的时间。

解决数学问题需要大胆猜想，但忌讳想当然无依据地蒙。如若本题中AB⊥A'P，或者∠ABP是钝角，则这段盘山公路就一定是上坡路。

公众号后台又收到留言，希望再次提供四中、五中自主招生考试的试题，特此整理以供下载使用

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