初中数学技巧题汇总
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通过比较,可以发现事物的相同点和不同点,更容易找到事物的变化规律。找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律,常常包含着事物的序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。
例:4、10、16、22、28……,求第n位数。
分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅都是6,所以,第n位数是:4+(n-1) 6=6n-2
此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察的方法求出,方法就简单的多了。
解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较:
(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n、3n有关。
例如:1,9,25,49,(81),(121),的第n项为(
1,2,3,4,5.。。。。。。,从中可以看出n=2时,正好是2×2-1的平方,n=3时,正好是2×3-1的平方,以此类推。
A: 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18
答案与3有关且是n的3次幂,即: n +1
B:2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即:
例:2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24……,
序列号:1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n个数为 。再看原数列是同时减2得到的新数列,则在 的基础上加2,得到原数列第n项
例 : 4,16,36,64,?,144,196,… ?(第一百个数)
同除以4后可得新数列:1、4、9、16…,很显然是位置数的平方,得到新数列第n项即n ,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n的公式后再乘以4即,4 n ,则求出第一百个数为4*100 =40000
例1:一道初中数学找规律题
0,3,8,15,24,······ 2,5,10,17,26,····· 0,6,16,30,48······
(1)第一组有什么规律?
答:从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?
答:第一组是位置数平方减一,那么第二组每项对应减去第一组每项,从中可以看出都等于2,说明第二组的每项都比第一组的每项多2,则第二组第n项是:位置数平方减1加2,得位置数平方加1即 。
第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍,则第三组第n项是:
(3)取每组的第7个数,求这三个数的和?
答:用上述三组数的第n项公式可以求出,第一组第七个数是7的平方减一得48,第二组第七个数是7的平方加一得50,第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96,48+50+96=194
2、观察下面两行数
2,4,8,16,32,64, ...(1)
5,7,11,19,35,67...(2)
根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。(要求写出最后的计算结果和详细解题过程。)
解:第一组可以看出是2 ,第二组可以看出是第一组的每项都加3,即2 +3,
则第一组第十个数是2 =1024,第二组第十个数是2 +3得1027,两项相加得2051。
解:从数列中可以看出规律即:1,1,1,2,1,3,1,4,1,5 ,…….,每二项中后项减前项为0,1,2,3,4,5……,正好是等差数列,并且数列中偶项位置全部为黑色珠子,因此得出2002除以2得1001,即前2002个中有1001个是黑色的。
解:被减数是不包含1的奇数的平方,减数是包括1的奇数的平方,差是8的倍数,奇数项第n个项为2n-1,而被减数正是比减数多2,则被减数为2n-1+2,得2n+1,则用含有n的代数式表示为: =8n。
解:通过上述代数式得出,平方差为888即8n=8X111,得出n=111,代入公式:
(222+1) -(222-1) =888
五、对于数表
1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律
2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差
六、数字推理基本类型
按数字之间的关系,可将数字推理题分为以下几种类型:
1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。
(1)等差关系。
12,20,30,42,( 56
127,112,97,82,( 67 )
3,4,7,12,( 19 ),28
(2)移动求和或差。从第三项起,每一项都是前两项之和或差。
1,2,3,5,( 8 ),13
A.9
选C。1 +2=3,2+ 3=5,3+ 5=8,5+ 8=13
0,1,1,2,4,7,13,( 24)
A.22 B.23 C.24 D.25
选C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和,所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
5,3,2,1,1,(0 )
A.-3
选C。前两项相减得到第三项。
(1)等比,从第二项起,每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
8,12,18,27,(40.5)后项与前项之比为1.5。
6,6,9,18,45,(135)后项与前项之比为等差数列,分别为1,1.5,2,2.5,3
(2)移动求积或商关系。从第三项起,每一项都是前两项之积或商。
2,5,10,50,(500)
100,50,2,25,(2/25)
3,4,6,12,36,(216) 从第三项起,第三项为前两项之积除以2
1,7,8,57,(457)第三项为前两项之积加 1
3.平方关系
1,4,9,16,25,(36),49 为位置数的平方。
66,83,102,123,(146) ,看数很大,其实是不难的,66可以看作64+2,83可以看作81+2,102可以看作100+2,123可以看作121+2,以此类推,可以看出是8,9,10,11,12的平方加2
4.立方关系
1,8,27,(81),125
3,10,29,(83),127 位置数的立方加 2
0,1,2,9,(730) 后项为前项的立方加1
5.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列,有的还需进行简单的通分,则可得出答案
2/3 1/2
6.、质数数列
2,3,5,(7),11
4,6,10,14,22,(26)
20,22,25,30,37,(48)
7.、双重数列。
(1)每两项为一组,如
1,3,3,9,5,15,7,(21) 第一与第二,第三与第四等每两项后项与前项之比为3
2,5,7,10,9,12,10,(13)每两项中后项减前项之差为3
1/7,14,1/21,42,1/36,72,1/52,(104
(2)两个数列相隔,其中一个数列可能无任何规律,但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。
22,39,25,38,31,37,40,36,(52) 由两个数列,22,25,31,40,( )和39,38,37,36组成,相互隔开,均为等差。
34,36,35,35,(36),34,37,(33) 由两个数列相隔而成,一个递增,一个递减
(3)数列中的数字带小数,其中整数部分为一个数列,小数部分为另一个数列。
2.01, 4.03, 8.04, 16.07,(32.11)整数部分为等比,小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列,题目一般已经解出。特别是前两种,当数字的个数超过7个时,为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系后,才能较好较快地解决这类题。
1,1,3,7,17,41,(
A.89
选B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2加第一项,即1X2+1=3、3X2+1=7,7X2+3=17,17X2+7=41,则空中应为41X2+17=99
65,35,17,3,(
A.1
选A。平方关系与和差关系组合,分别为8的平方加1,6的平方减1,4的平方加1,2的平方减1,下一个应为0的平方加1=1
4,6,10,18,34,( 66
A.50
选C。各差关系与等比关系组合。依次相减,得2,4,8,16( ),可推知下一个为32,32 +34=66
6,15,35,77,(
A.106 B.117 C.136 D.143
选D。此题看似比较复杂,是等差与等比组合数列。如果拆分开来可以看出,6=2X3、15=3x5、35=7X5、77=11X7,正好是质数2 、3,5,7、11数列的后项乘以前项的结果,得出下一个应为13X11=143
2,8,24,64,( 160
A.160 B.512
选A。此题较复杂,幂数列与等差数列组合。2=1X2 的1次方,8=2X2 的平方,24=3*X2 ,64=4X2 ,下一个则为5X2 =160
0,6,24,60,120,( 210 )
A.186 B.210 C.220 D.226
选B。和差与立方关系组合。0=1的3次方-1,6=2的3次方-2,24=3的3次方-3,60=4的3次方-4,120=5的3次方-5。空中应是6的3次方-6=210
1,4,8,14,24,42,(76
A.76
选A。两个等差与一个等比数列组合依次相减,原数列后项减前项得3,4,6,10,18,(
9.、其他数列。
2,6,12,20,( 30 )
A.40
选C。2=1*2,6=2*3,12=3*4,20=4*5,下一个为5*6=30
A.48 B.96 C.120 D.144
选C。后项=前项X递增数列。1=1*1,2=1*2,6=2*3,24=6*4,下一个为120=24*5
1,4,8,13,16,20,( 25 )
A.20
选B。每4项为一重复,后期减前项依次相减得3,4,5。下个重复也为3,4,5,推知得25。
27,16,5,( 0 ),1/7
A.16
选B。依次为3的3次方,4的2次方,5的1次方,6的0次方,7的-1次方。
四、解题方法
数字推理题难度较大,但并非无规律可循,了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。
1.快速扫描已给出的几个数字,仔细观察和分析各数之间的关系,尤其是前三个数之间的关系,大胆提出假设,并迅速将这种假设延伸到下面的数,如果能得到验证,即说明找出规律,问题即迎刃而解;如果假设被否定,立即改变思考角度,提出另外一种假设,直到找出规律为止。
2.推导规律时往往需要简单计算,为节省时间,要尽量多用心算,少用笔算或不用笔算。
3.空缺项在最后的,从前往后推导规律;空缺项在最前面的,则从后往前寻找规律;空缺项在中间的可以两边同时推导。
(一)等差数列
相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式:
自然数数列:1,2,3,4,5,6……
偶数数列:2,4,6,8,10,12……
奇数数列:1,3,5,7,9,11,13……
例题1 :103,81,59,( 37
A.68
解析:答案为C。这显然是一个等差数列,前后项的差为22。
例题2:2,5,8,( 11
A.10
解析:从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列,即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5,第一个数字为2,两者的差为3,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即8 +3=11,第四项应该是11,即答案为B。
例题3:123,456,789,( 1122
A.1122
解析:答案为A。这题的第一项为123,第二项为456,第三项为789,三项中相邻两项的差都是333,所以是一个等差数列,未知项应该是789 +333=1122。注意,解答数字推理题时,应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律,而不能从数字表面上去找规律,比如本题从123,456,789这一排列,便选择101112,肯定不对。
例题4: 11,17,23,( 29
A.25
解析:答案为C。这同样是一个等差数列,前项与后项相差6。
例题5: 12,15,18,( 21
A.20
解析:答案为B。这是一个典型的等差数列,题中相邻两数之差均为3,未知项即18+ 3=21,或24-3=21,由此可知第四项应该是21。
(二)等比数列
相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中,也是排列数字的常见规律之一。
例题1: 2,1,1/2,( B
A.0
解析:从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列,即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。题中第二个数字为1,第一个数字为2,两者的比值为1/2,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即(1/2)/2,第四项应该是1/4,即答案为B。
例题2: 2,8,32,128,( 512
A.256
解析:答案为C。这是一个等比数列,后一项与前一项的比值为4。
例题3: 2,-4,8,-16,(
A.32
解析:答案为A。这仍然是一个等比数列,前后项的比值为-2。
(三)平方数列
1、完全平方数列:
正序:1,4,9,16,25
逆序:100,81,64,49,36
2、一个数的平方是第二个数。
1)直接得出:2,4,16,( 256 )
解析:前一个数的平方等于第二个数,答案为256。
2)一个数的平方加减一个数等于第二个数:
1,2,5,26,(677) 前一个数的平方加1等于第二个数,答案为677。
3、隐含完全平方数列:
1)通过加减一个常数归成完全平方数列:0,3,8,15,24,( 35
前一个数加1分别得到1,4,9,16,25,分别为1,2,3,4,5的平方,答案35
2)相隔加减,得到一个平方数列:
例:65,35,17,( 3 ),1
A.15
解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是:65等于8的平方加1,35等于6的平方减1,17等于4的平方加1,再观察时发现:奇位置数时都是加1,偶位置数时都是减1,所以下一个数应该是2的平方减1等于3,答案是D。
例:1,4,16,49,121,( 169
A.256
解析:从数字中可以看出1的平方,2的平方,4的平方,7的平方,11的平方,正好是1,2,4,7,11.。。。。,可以看出后项减前项正好是1,2,3,4,5,。。。。。。。,从中可以看出应为11+5=16,16的平方是256,所以选A。
例:2,3,10,15,26,( 35 )。(2005年考题)
A.29
解析:看数列为2=1的平方+1,3=2的平方减1,10=3的平方加1,15=4的平方减1,26=5的平方加1,再观察时发现:位置数奇时都是加1,位置数偶时都是减1,因而下一个数应该是6的平方减1=35,前n项代数式为: 所以答案是C.35。
(四)立方数列
立方数列与平方数列类似。
例题1: 1,8,27,64,( 125 )
解析:数列中前四项为1,2,3,4的立方,显然答案为5的立方,为125。
例题2:0,7,26,63 ,( 124
解析:前四项分别为1,2,3,4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。
例3: -2,-8,0,64,(
A.64
解析:从数列中可以看出,-2,-8,0,64都是某一个数的立方关系,-2=(1-3)×1 ,-8=(2-3)X2 ,0=(3-3)X3 ,64=(4-3)X4 ,前n项代数式为: ,因此最后一项因该为(5-3)×5 =250 选D
例4:0,9,26,65,124,( 239
解析:前五项分别为1,2,3,4,5的立方加1或者减1,规律为位置数是偶数的加1,则奇数减1。即:前n项=n + (-1) 。答案为239。
在近几年的考试中,也出现了n次幂的形式
例5:1,32,81,64,25,(
A.5
解析:逐项拆解容易发现1=1 ,32=2 ,81=3 ,64=4 ,25=5 ,则答案已经很明显了,6的1次幂,即6 选B。
(五)、加法数列
数列中前两个数的和等于后面第三个数:n1+n2=n3
例题1: 1,1,2,3,5,( 8 )。
解析:第一项与第二项之和等于第三项,第二项与第三项之和等于第四项,第三项与第四项之和等于第五项,按此规律3 +5=8答案为A。
例题2: 4,5,( 9 ),14,23,37
A 6
解析:与例一相同答案为D
例题3: 22,35,56,90,( 145
A 162
解析:22 +35-1=56, 35+ 56-1=90 ,56+ 90-1=145,答案为D
前两个数的差等于后面第三个数:n1-n2=n3
例题1:6,3,3,( 0
解析:6-3=3,3-3=0 ,3-0=3 ,0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了:“空缺项在中间,从两边找规律”)
1、前两个数的乘积等于第三个数
例题1:1,2,2,4,8,32,( 256
前两个数的乘积等于第三个数,答案是256。
例题2:2,12,36,80,(
A.100
解析:2×1, 3×4 ,4×9,5×16 自然下一项应该为6×25=150 选C,此题还可以变形为: , , , …..,以此类推,得出
2、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方等数列。
例题2:3/2, 2/3, 3/4,1/3,3/8 ( A ) (99年海关考题)
解析:3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A。
与乘法数列相类似,一般也分为如下两种形式:
1、两数相除等于第三数。
2、两数相除的商呈现规律:顺序,等差,等比,平方等。
由质数从小到大的排列:2,3,5,7,11,13,17,19…
几个数按一定的次序循环出现的数列。
例:3,4,5,3,4,5,3,4,5,3,4
以上数列只是一些常用的基本数列,考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的,下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。
这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。
例1:2
A.38
解析:后一个数与前个数的差分别为:4,6,8,10这显然是一个等差数列,因而要选的答案与30的差应该是12,所以答案应该是B。
例2:20
A.39
解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,3,5,7这是一个质数数列,因而要选的答案与37的差应该是11,所以答案应该是C。
例3:2
A.43
解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,6,9,12这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与32的差应该是15,所以答案应该是C。
例4:4
A.27
解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,2,4,8这是一个等比数列,因而要 选的答案与19的差应该是16,所以答案应该是C。
例5:3
A.23
解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,3,9这显然也是一个等比数列,因而要选的答案与16的差应该是27,所以答案应该是D。
例6:32
A.14
解析:后一个数与前一个数的差分别为:-5,-4,-3,-2这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与18的差应该是-1,所以答案应该是D。
例7:1, 4, 8, 13, 16, 20, ( 25 ) (2003年考题)
A.20
解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,4,5,3,4这是一个循环数列,因而要 选的答案与20的差应该是5,所以答案应该是B。
例8:1, 3, 7, 15, 31, ( 63
A.61
解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,4,8,16这显然是一个等比数列,因而要 选的答案与31的差应该是32,所以答案应该是C。
例9:( 69 ),36,19,10,5,2(2003年考题)
A.77
解析:前一个数与后一个数的差分别为:3,5,9,17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数,后面的数应该是17*2-1=33,因而33+36=69答案应该是 B。
例10:1,2,6,15,31,( 56 ) (2003年考题)
A.53
解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,4,9,16这显然是一个完全平方数列,因而要选的答案与31的差应该是25,所以答案应该是B。
例11:1,3,18,216,( 5184 )
A.1023
解析:后一个数与前一个数的比值分别为:3,6,12这显然是一个等比数列,因而要选的答案与216的比值应该是24,所以答案应该是D:216*24=5184。
例12: -2
A.25
解析:后一个数与前一个数的差值分别为:3,6,9这显然是一个等差数列,因而要选的答案与16的差值应该是12,所以答案应该是B。
例13:1
A.20