2013中考数学专题复习14---函数中的面积计算问题

2013中考数学专题复习14

函数中的面积计算问题

一.知识要点:

函数中面积问题常见类型:

一、选择填空中简单应用

二、不规则三角形面积运用

三、运用

四、运用相似三角形

五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形

二.例题精选

1.正方形ABCD的边长为4MN分别是BCCD上的两个动点,

且始终保持AMMN.当BM=  2   时,四边形ABCN的面积最大.

分析:利用⊿MCN∽⊿ABM,BM=x,CN=-0.25x2-0.5x.

S=-0.5x2+x+8,x=2时,面积最大。

2.如图,四边形ABCD是边长为1 的正方形,四边形EFGH是边长为2的正方形,点D与点F重合,点BDF),H在同一条直线上,将正方形ABCD沿FH方向平移至点B与点H重合时停止,设点DF之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y x之间函数关系的图象是(  B   

 

 

 

 

 

 

 

 


分析:当B点到达F点前,即0<x<

时,重合部分是正方形,S=0.5x2,当BF右侧,重合部分面积不变,DH之后,重叠部分面积又逐渐变小。

3.(2010广东广州)如图所示,四边形OABC是矩形,点AC的坐标分别为(30),(01),点D是线段BC上的动点(与端点BC不重合),过点D作直线

=-
交折线OAB于点E.记△ODE的面积为S,求S
的函数关系式;

.

【分析】要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点EOA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可②如果点EAB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;

【答案】(1)由题意得B31).

若直线经过点A30)时,则b

若直线经过点B31)时,则b

若直线经过点C01)时,则b1

若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1b

,如图25-a

   此时E2b0

∴S

OE·CO
×2b×1b

若直线与折线OAB的交点在BA上时,即

b
,如图2

此时E3

),D2b21

∴SS(S△OCDS△OAE S△DBE )

3[

(2b1)×1
×(5
2b)·(
)
×3(
)]

4. 解答下列问题:

如图1,抛物线顶点坐标为点C(14),交x轴于点A(30),交y轴于点B.

1)求抛物线和直线AB的解析式;

2)求△CAB的铅垂高CDSCAB

3P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB

S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 


思路分析

此题是二次函数中常见的面积问题,方法不唯一,可以用割补法,但有些繁琐,如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法:

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后,思路直接,过程较为简单,计算量相对也少许多,

答案:1由已知,可设抛物线的解析式为y1a(x1)24(a0)A(30)代入解析式求得a=-1

∴抛物线的解析式为y1=-(x1)24,即y1=-x 22x3

设直线AB的解析式为y2kxb

y1=-x 22x3求得B点的坐标为(03)A(30)B(03)代入y2kxb,解得k=-1b3

∴直线AB的解析式为y2=-x3

2)∵C(14)∴当x1时,y14y22

△CAB的铅垂高CD422

SCAB

×3×23(平方单位)

3)解:存在

P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h

hy1y2(x 22x3)(x3)=-x 23x

S△PAB

S△CAB得:
×3×(x 23x)
×3

整理得4x 212x90解得x

x

代入y1=-x 22x3,得y1

P点的坐标为(

)

5. 11·泉州)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(08),点B

)在直线
上运动,点DEF分别为OBOAAB的中点,其中
是大于零的常数.

1)判断四边形DEFB的形状,并证明你的结论;

2)试求四边形DEFB的面积

的关系式;

3)设直线

轴交于点C,问:四边形DEFB能不能是矩形?若能,求出
的值;若不能,说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

1)四边形DEFB是平行四边形

证明:∵DE分别是OBOA的中点,∴DEAB,同理,EFOB,∴四边形DEFB是平行四边形.

2

由(1)得EFOB,∴△AEF~△AOB,∴

.

同理

,∴
,即
.

 

3)以E为圆心、OA长为直径的圆记为⊙E.

①当直线

与⊙E相切或相交时,若点B是切点或交点,则∠ABO=90°,由(1)知,四边形DEFB是矩形.此时
可得△AOB~△OBC,故
.
(注:本式也可以由三角函数值得到).

RtOBC中,

,∴
,
.

解得:

.

②当直线

与⊙E相离时,∠ABO90°,∴四边形DEFB不是矩形,此时

∴当

时,四边形DEFB不是矩形.

综上所述,当

,四边形DEFB是矩形,这时
;当
时,四边形DEFB不是矩形.

三.能力训练

1.如图,在正方形ABCD中,AB=3㎝,动点MA点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动,同时动点NA点出发沿折线ADDCCB以每秒3㎝的速度运动,到达B点时运动同时停止。设△AMB的面积为y(㎝2)。运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映yx之间函数关系的是(     

 

 

 


2.如图.直线

与双曲线
交于AB两点,连接OAOBAMy轴于MBNx轴于N;有以下结论:

    OA=OB

    ②△AOM≌△BON

  ③若∠AOB=45°.则

    ④当AB=

时,ON=BN=l

    其中结论正确的个数为(     

A1      B2       C3       D.  4

3.如图,已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象在第一象限相交于点
,与
轴相交于点
轴于点
的面积为1,则
的长为         (保留根号).

4.如图,已知点AB在双曲线
x0)上,ACx轴于点CBDy轴于点DACBD交于点PPAC的中点,若△ABP的面积318.如图,已知点AB在双曲线
x0)上,ACx轴于点CBDy轴于点DACBD交于点PPAC的中点,若△ABP的面积3,则k      

5.如图,在直线l1x轴于点(10),直线l2x轴于点(20),

直线l3x轴于点(n0)……直线lnx轴于点(n0).函数y=x

图象与直线l1l2l3,……ln分别交于点B1B2B3,……Bn。如果

OA1B1的面积记为S1,四边形A1A2B2B1的面积记作S2,四边形A2A3B3B2

的面积记作S3,……四边形An1AnBnBn1的面积记作Sn

那么S2011=_______________________

6.如图,一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0)的图象相交于A点,与y轴、x轴分别相交于BC两点,且C20).x<–1时,一次函数值大于反比例函数的值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值.

(1)    求一次函数的解析式;

(2)    设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y轴对称.y2= (x>0)的图象上取一点PP点的横坐标大于2),过PPQx轴,垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2,求P点的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


7.已知:如图,有一块含

的直角三角板
的直角边长
的长恰与另一块等腰直角三角板
的斜边
的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且
.

(1)若双曲线的一个分支恰好经过点

,求双曲线的解析式;

(2)若把含
的直角三角板绕点
按顺时针方向旋转后,斜边
恰好与
轴重叠,点
落在点
,试求图中阴影部分的面积(结果保留
).

 

 

 

8.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(20),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB

1)求点B的坐标;

2)求经过AOB三点的抛物线的解析式;

3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.

4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.

 

 

 

 

 


9.如图,在△ABC中,∠A=90°∠B=60°AB=3,点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(D不与B重合),过点DDE∥BCAC于点E.以DE为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形ADFE,设点D的运动时间为

秒.

(1)用含
的代数式表示△DEF的面积S

(2)

为何值时,⊙O与直线BC相切?

 

 

 

 

 

 

10.已知:t1t2是方程t 22t240的两个实数根,且t1t2,抛物线y

x 2bxc的图象经过点At10),B0t2).

1)求这个抛物线的解析式;

2)设点Pxy)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求□OPAQ的面积S

之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;

3)在(2)的条件下,当□OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使□OPAQ为正方形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.

 

 

 

 

 

 

四.思维拓展

11.如图,在梯形ABCD中,DCABA90°AD6厘米DC4厘米BC的坡度i3 : 4.动点PA出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动,动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.

1)求边BC的长;

2)当t为何值时,PCBQ相互平分;

3)连结PQ ,设△PBQ的面积为y,探求yt的函数关系式,

t为何值时,y有最大值?最大值是多少?

 

 

 

 

 

12.如图1,已知抛物线经过坐标原点Ox轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,ADAB分别在x轴、y轴上,且AD=2AB=3.

1)求该抛物线的函数关系式;

2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0t3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).

t=

时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;

设以PNCD为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. 11·杭州)图形既关于点O中心对称,又关于直线ACBD对称,AC=10BD=6,已知点EM是线段AB上的动点(不与端点重合),点OEFMN的距离分别为
△OEF△OGH组成的图形称为蝶形。

1)求蝶形面积S的最大值;

2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求

满足的关系式,并求
的取值范围。

14.如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动tt0)秒,抛物线y=x2bxc经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A10)、B1,-5)、D40.

⑴求cb(用含t的代数式表示);

⑵当4t5时,设抛物线分别与线段ABCD交于点MN.

①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP的值;

②求△MPN的面积St的函数关系式,并求t为何值时,S=

③在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.

 

15.已知二次函数的图象经过A20)、C(012) 两点,且对称轴为直线x=4. 设顶点为

P,与x轴的另一交点为点B.

1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;

2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;

3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(OP两点除外),以每秒

个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MNx轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t. S关于t的函数关系式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二次函数中的面积计算问题参考答案

1.B   2.D    3.

   4.
 5.2010.5

6.解:(1)∵x< –1时,一次函数值大于反比例函数值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值.

        A点的横坐标是–1,∴A–13      

        设一次函数解析式为y= kx+b,因直线过AC

         ,解之得:

       ∴一次函数解析式为y= –x+2              

       2)∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称,

            y2 = (x>0)                    

            B点是直线y= –x+2y轴的交点,∴B (02) 

         Pn )n>2  S四边形BCQP –SBOC =2

             ( 2+ )n– 22 = 2n =            

             P                               

7.解:(1)

中,

∴点

设双曲线的解析式为

,则双曲线的解析式为

(2)

中,

.

由题意得:

中,

.

.

8.解:(1)如图1过点BBMx轴于M

由旋转性质知OBOA2

∵∠AOB120°,∴∠BOM60°

OMOB·cos60°2×
1BMOB·sin60°2×

∴点B的坐标为(1

)

2)设经过AOB三点的抛物线的解析式为yax 2bxc

∵抛物线过原点c0

     解得

∴所求抛物线的解析式为y

x 2
x

3)存在.

如图2,连接AB,交抛物线的对称轴于点C,连接OC

OB的长为定值,∴要使△BOC的周长最小,必须BCOC的长最小.

∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称,∴OCAC

BCOCBCACAB

由“两点之间,线段最短”的原理可知:此时BCOC最小,点C的位置即为所求.

设直线AB的解析式为ykxm,将A(20)B(1
)
代入,得

     解得

∴直线AB的解析式为y

x

抛物线的对称轴为直线x

=-1,即x=-1

x=-1代入直线AB的解析式,得y

×(1)

∴点C的坐标为(1

)

4)△PAB有最大面积.

如图3,过点Py轴的平行线交AB于点D

SPAB SPADSPBD

(yDyP)(xBxA)

[(
x
)(
x 2
x
)](12)

=-

x 2
x

=-

(x
)
2

∴当x=-

时,△PAB的面积有最大值,最大值为

此时yP

×(
)2
×(
)=-

∴此时P点的坐标为(

)

9、解:(1)∵DEBC,∴∠ADE=B=60°

在△ADE中,∵∠A=90°

AD=

,∴AE=

又∵四边形ADFE是矩形,

SDEF=SADE=

S=

2)过点OOGBCG,过点DDHBCH

DEBC,∴OG=DH,∠DHB=90°

在△DBH中,

∵∠B=60°,BD=

AD=
AB=3

DH=

,∴OG=

OG=

时,⊙OBC相切,

在△ADE中,∵∠A=90°,∠ADE=60°,∴

AD=

,∴DE=2AD=

∴当

时,⊙O与直线BC相切

10.解:(1)由t 22t240,解得t16t24

t1t2A60),B04

抛物线y

x 2bxc的图象经过点AB两点

     解得

这个抛物线的解析式为y

x 2
x4

2)∵Pxy)在抛物线上,且位于第三象限,y0,即y0

又∵S2SAPO2×

×| OA|·| y || OA|·| y |6| y |

S6y

6(

x 2
x4)4(x 27x6)4(x
)225

y0,则

x 2
x40解得x16x21

∴抛物线与x轴的交点坐标为(60)、(10

x的取值范围为6x1

3)当S24时,得4(x

)22524解得:x14x23

代入抛物线的解析式得:y1y24

P的坐标为(34)、(44).

当点P为(34)时,满足POPA,此时,OPAQ是菱形.

当点P为(44)时,不满足POPA,此时,OPAQ不是菱形

要使OPAQ为正方形,那么,一定有OAPQOAPQ,此时,点的坐标为(33),而(33)不在抛物线y

x 2
x4上,故不存在这样的点P使□OPAQ为正方形

11.解:(1)如图1,过CCEAB于点E,则四边形AECD为矩形.

AECD4CEDA6

又∵i3 : 4

EB8AB12.在RtCEB中,由勾股定理得:

BC

10

2)假设PCBQ相互平分

DCAB∴四边形PBCQ是平行四边形(此时QCD),如图2.∴CQBP3t10122t

解得t

t
秒时,PCBQ相互平分

 

3QBC上,即0 t

如图1,过QQFAB于点F,则CEQF

,即
QF

SPBQ

PB·QF
(122t)·

t 2
t

y

t 2
t.∵y
t 2
t
(t3)2

∴当t3秒时,y有最大值为

厘米2

QCD上,即

t

SPBQ

PB·CE
(122t)×6

366t

y366t.此时yt的增大而减小.

故当t

秒时,y有最大值为366×
16厘米2

综合①②,得yt的函数关系式如下:

t

0 t

y
............

16,∴当t3秒时,y有最大值为
厘米2

 

12解:(1

2)①点P不在直线ME

②依题意可知:P

,
),N

时,以PNCD为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:

=
+
=
+
=

=

∵抛物线的开口方向:向下,∴当

=
,且
时,
=

,PN都重合,此时以PNCD为顶点的多边形是三角形

依题意可得,

=
=3

综上所述,以PNCD为顶点的多边形面积S存在最大值

13、解:(1)由题意,得四边形

是菱形.

,得
,即

所以当

时,
.

2)根据题意,得

.

如图,作

关于
对称线段为

1)当点
不重合时,则
的两侧,易知
.

,得

,即

,此时
的取值范围为

2)当点

重合时,则
,此时
的取值范围为
.

14. 解:⑴把

代入
,得
.

再把

,
代入
,得
,∵
,∴
.

 

⑵①不变.

如图6,当

时,
,故
.

.

=

=

=

=
,得
.

,∴
舍去,∴
.

15.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c

            由题意得

    解得

            ∴二次函数的解析式为y= x28x+12 

            P的坐标为(4,-4

2)存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下:

y=0时,x2-8x+12=0   x1=2 x2=6

∴点B的坐标为(60

设直线BP的解析式为y=kx+m

    

       解得

              ∴直线BP的解析式为y=2x12

         ∴直线ODBP

     ∵顶点坐标P4 4     OP=4

         D(x2x)    BD2=2x2+(6x)2

             BD=OP时,(2x2+(6x)2=32

         解得:x1=
x 2=2

         x2=2时,OD=BP=

,四边形OPBD为平行四边形,舍去

         ∴当x=

时四边形OPBD为等腰梯形

         ∴当D(

)
时,四边形OPBD为等腰梯形 

3)① 0t2时,

∵运动速度为每秒

个单位长度,运动时间为t秒,

MP=

t    PH=tMH=tHN=
t  
MN=
t

S=

t·t·
=
t2

        2t4时,P1G=2t4P1H=t

            MNOB   

    

           

=3t212t+12

S=

t2(3t212t+12)=
t2+12t12

  0t2S=

t2

                  2t4S=

t2+12t12

 

 

 

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