例谈平面几何中的辅助线添加

解证几何问题时，往往需要在图中另外添加一些线，通常称为辅助线.在图中一般画为虚线.常见的辅助线主要为直线、线段、射线、圆或圆弧等.

以下选题来自《初中数学竞赛中的平面几何》

为什么要添加辅助线呢？

解几何题是从题设条件出发，运用正确的逻辑推理，得到题断的结果.我们碰到的几何题并非全部要添线，有些则需要添线.为什么有的几何题一定要添线呢？我们从以下两个具体的例题谈起。

解法分析：首先根据题意画出相应的图形：

要证明AE=AG，只需要证明∠G=∠3，问题的关键在于如何由AB=CD等题设来证得∠G=∠3。由于AB，CD的位置分散，它们与∠G和∠3的联系不易直接观察到。因此，必须设法添加辅助线使得相对分散的状态变得相对集中，使它们之间的联系由隐蔽变为明显。

为此，需要构造与∠G和∠3相等的等角。联结BD后，取BD的中点O，联结OE、OF。通过构造中位线，将AB=CD转化到了OE=OF，这样将∠G转化到了∠1，∠3转化到了∠2，使所有相关联的元素都集中到了△OEF中。因此，只需要证明∠1=∠2，就可以解决问题。

解法分析：由已知中AB=AC=AD=a，可知B、C、D在以A为圆心，a为半径的圆上，因此需要做出这个“隐圆”。这样就打开了思路，使得隐含在题中的关系得以浮现。

因此，延长BA交圆A于点E，联结DE。易证∠EDB=90°，由CD//AB，可得DE=BC=b，因此借助勾股定理可以计算BD的长度：

通过上述两个例子可以表明，解证几何问题，就是由已知出发，用逻辑推理搭建已知和未知的桥梁。因此，对于具体问题具体分析，当条件和结论之间没有明确的指向性时，我们需要联想添加辅助线，创造转化的条件，从而将已知和未知中的相关元素有机地串联起来，从而有效地解决问题。

添加辅助线有以下三个作用：① 使复杂的问题转化为我们所熟悉或早已掌握、解决的问题，比如在“证明中位线定理”时，我们可以添加辅助线，将问题转化“借助三角形中位线定理进行证明”；② 使图中隐含的关系显现出来(例2)；③ 使不直接联系的元素发生联系。

对于辅助线的添加不是所心所欲的，当碰到某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径而射线和决定在图中添加什么辅助线，怎样添加辅助线。这才是正确理解添加辅助线的方法和精髓。

添线的原则

原则一 化繁为简

添加辅助线有助于：① 把复杂的图形化为简单的图形；② 把复杂的图形分割成若干个简单的问题；③ 把不规则的图形转化为规则的图形。

不论添线怎么复杂，仔细分析，都是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来驾驭“繁”。

解法分析：由于∠BCA=20°，∠EDC=80°，所以CE=CD。直接计算两个三角形的面积很困难，要碰到求特殊角的锐角三角比。

但注意到∠ABC=60°这个条件，把△ABC复原为一个边长为1得正三角形。为此，延长BA到G，使BG=BC=1，如下图所示，联结CF，则易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。

于是△ACF∽△ECD，又CA=2CE，所以：

此题添线后从表明看使图形变得复杂了，但实质上则使用不规则图形转化为规则的正三角形，达到化繁为简的目的。同时也使我们捕捉到了解答本题的途径。

原则二 相对集中

添设辅助线常常将已知和未知中的有关元素集中在同一个三角形中或集中到两个相关(全等、两边对应相等、相似)的三角形中。只有元素相对集中，才便于联系与比较，从能充分应用有关的几何定理。

解法分析：要证BD+CE>DE。需要设法把三条线段集中到同一个三角形中，为此，由M是BC的中点，DM⊥EM，使我们联想到不妨用轴对称“翻折”的方法。如图所示，在DM的延长线上取D'，使MD'=MD。联结ED'，CD'，易证ED'=DE，CD'=BD(△BDM≌△CD'M)。最终把BD，DE，CE三条线段转化为CD'，ED'，CE，集中到△CED'中，从而利用“两边之和大于第三边”得证。

添线的手段

添加辅助线，从整体上看，可以理解为把图形的一部分变换到另外的位置，以此来实现条件和结论的联系。这些变换很多，常用的是平移和旋转，它不改变线段的长度与角的大小。

方法一 平移

常常通过特殊点添平行线，或利用三角形中位线性质构造平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置。

解法分析：本题同例1的解题策略如出一辙。即通过线段的平移将∠1和∠2放置在一个三角形中。

如左图，通过“四次”平移，构造平行线四边形ABMF和平行四边形DFNC，继而构造全等△BME和△ENC，从而证明E为MN的中点，利用等腰三角形的三线合一证明∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，继而得证。

如右图，借助三角形的中位线定理，通过联结BD，构造AB和CD的一半，得等腰△GEF，从而得证。

方法二 旋转

在具有等边和特殊角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一特殊角，往往使分散的条件相对集中，显示出若干新的联系。

解法分析：本题中要证明∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同时AB=AC，因此联想构造与△ABM全等的△ACN，相当于将△ABM平移加旋转得△ACN。再证明△DMC和△DCN全等即可得证。

相同的解决路径在2023上海长宁二模25题第(3)问中也有体现：

解法分析：本题中要证明A、P、C三点共线，可以通过证明∠APB+∠BPC=180°进行证明。由于AP、BP、CP三条线段的位置比较分散，因此可以通过旋转△ABP(绕点B顺时针旋转90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，从而根据∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四点共圆，继而得∠BPC与∠BP'C互补，而∠BP'C=∠APB，继而得证。

常见相似模型中的“手拉手模型”以及“半角模型”就是利用旋转得到相似三角形或全等三角形实现线段的转化。

——The  End——