2023年9(10)月各区县月考压轴题解析(二)

“First

“First

相似三角形的存在性问题

解法分析：本题是直角三角形背景下与判定三角形相似，求三角形面积和三角形相似存在性相关的问题。

本题的关键在于首先需要将△ACB解出来，即求出AC、AB的长度，这里可以采用三角形的相似进行求解，这些边的求法实际上就是简单利用了射影定理。

本题的第(1)问利用“同角的余角相等”可以轻松地证明两组等角，从而利用相似三角形的判定定理1进行证明。

本题的第(2)问涉及三角形面积的求法：

由于△CED的面积不能直接求出，又根据第(1)问中的相似三角形，因此可以利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”进行求解。

同时根据CD=DE，可得△CDE为等腰三角形，继而根据两三角形相似，可得△CFB为等腰三角形，继而利用勾股定理求得BF的长度，再求出△CBF的面积。

本题的第(3)问涉及相似三角形的存在性问题，解决的关键是先寻找等角(∠EGF=∠CGD)，再通过对剩余的两个角的等量关系进行分类讨论。

1° 当∠EGF=∠CGD时，可得EF//CD，不妨设CE=x，利用EF-CD-A型图用含x的代数式表示出DF的长度，再利用第(1)问中的相似三角形，列出线段间的比例关系，从而求出CE的长度。

2° 当∠EFC=∠CGD时，利用图中的两组蝶形相似三角形，通过角的转化，可得∠CED=∠CDE，从而得到CE=DE=2。

“Second

线段间函数关系的建立问题

解法分析：本题是直角三角形背景下与求线段长度、建立线段间的函数关系和相似三角形的存在性问题。

本题的第(1)问提示了AE垂直平分BD，因此可得AE是∠BAD的平分线。从而利用角平分和平行模型，可得△ABF为等腰三角形，得到AB=BF，利用图中的BF-AD-X型图，可以求出AD的长度。

本题的第(2)问是整道题中难度最大的部分，对于线段CE和线段AF函数关系的建立的难点在于发现含这两条线段的相似三角形，即如何证明△BAF和△BCE相似成为了本题的难点，即如何证明∠BAF=∠BCE。

观察到这两个角是∠DCE和∠DBA的余角，因此需要证明含这两个角相等的三角形:△ABD和△DCE相似，通过边的转化最后需要证明△ADE和△BCD相似。

除了采用上述的方法外，可运用四点共圆的方法证明∠BAF=∠BCE：

本题的第(3)问涉及到相似三角形的存在性问题的讨论，根据相似的传递性可得△BGE与△BCE相似，此时有且仅有∠BCE=∠ABE，通过角的转化，可得∠EBC=45°，即△ABE为等腰直角三角形。

过点E作EH⊥BC，通过解三角形可以求得CE的长度，借助第(2)问的函数关系式求得AF的长度。

Minimalist style

结语

“First

对于相似三角形背景下的压轴题问题，要善于发现图形中线段和角之间的数量关系，借助“基本图形分析法”，发现图形中隐含的基本图形；借助常见的基本问题的解决策略，如相似/等腰/直角三角形的存在性问题解决策略代入具体问题进行应用，从而将复杂问题转化为熟悉的简单问题。

对于压轴题，一定要“消灭”畏难情绪，定好做题时间，自己分析，然后再看解析，明晰自己卡壳的位置，再进行尝试，再做，这样才能提高解决问题、分析问题的能力。同时要善于分析、总结常见的基本图形和基本方法，这样才能破解复杂的压轴题。

END

多一个点在看

多一条小鱼干