手拉手三角形及其典型变式

01. “手拉手”初始模型

# 01

   该图形通常称为“手拉手”模型，以此为背景的题目在各类测试中屡见不鲜且颇具创新性，主要涉及全等与相似这两类初中阶段重要的几何内容，并由此得到基本几何要素(线段与角)的关系。作为初中数学经典模型之一,同样也是学生较为熟悉的题型，上述开放性问题是变式的出发点。

(部分内容选自龚含笑《以“手拉手”模型专题探究为例》)

由“手拉手”模型可以得到以下几个基本推论和引申推论：

# 01

“手拉手”模型相关的几个基本推论

# 02

“手拉手”模型相关的几个引申推论

以上归纳的就是“手拉手”模型的几个基本推论和引申推论，通过增加条件信息，增加运动背景或者图形变式背景，可以得到更加丰富的变式。

02. “手拉手”模型——信息变式

# 02

显然，这两个子问题提供了增加条件的不同路径。一是增加新的几何要素(点、线、角)，二是给出几何要素的新关系。

问题1通过两次证明全等，可以得到DC=DE，以及∠DCE=∠MCE=60°，从而证明△DCE为等边三角形。

问题2通过过点N作BC的垂线，构造全等三角形，从而实现线段的转化，将所有线段都转化到Rt△MCN中，继而利用30°角的性质得到线段间的数量关系。

03. “手拉手”模型——运动变式

# 03

从运动变化的观点认知平面几何，可以深刻揭示图形变化的内在联系和本质.在原有图形中，让其中一个等边三角形“动”起来，尽管所形成的图形多而异,但前述问题所提供的研究视角与解决思路为进一步探究奠基。

问题3-1的解决即对旋转过程的简约重温，聚焦旋转变换的性质，利用全等三角形与 “X字型 ”基本图形得到∠BOE的度数，同时随着图形的变换需要观察到临界位置以及两种不同的情况。

问题3-2至问题3-4都是研究旋转的某一特殊位置，其中包含基本问题所得到的一些结论。在此基础上，进一步明确构成“手拉手”模型的基本图形。这即是指面对“残疾模型”，需要通过添加辅助线构建模型,进而实现问题的化归。化归是变式问题解决的根本思路,即将待解决的变式转化为已解决的问题。

问题3-5的解决关键都在于建立(分析)三条共端点的线段间的关系。而问题3-4提供了此类问题解决的思维策略。

需要作一个等边三角形构成“手拉手”模型，进而将三条“共端点”的线段转化为“首尾依次相连”的线段(即为三角形)，由此解决问题。

04. “手拉手”模型——图形变式

# 04

将等边三角形变成等腰三角形或等腰直角三角形，能得到哪些结论? 如果将三角形拓展为正方形、正五边形甚至是正n边形呢?

基本图形的改变导向了不等价的变式(如特殊化、一般化)，产生的迁移可以形成更为深刻的研究性学习。事实上，在问题3的系列变式解决过程中形成的方法与思想都为问题4的探索提供支持。

问题4得背景尽管由问题3的等边三角形变为等腰直角三角形，但是问题解决的策略还是不变的。对于问题4-1，模仿问题背景引申结论11的作法，通过截取线段相等构造全等三角形，从而实现线段的转化。

对于问题4-2和4-3出现了求线段最值的问题，不妨先看一下4-3图形运动的路径：

可以发现，结合问题3，作出一个直角三角形，利用三角形三边的不等关系，可以确定线段的最大值和最小值。这两个问题的难点在于联想到构造“手拉手”模型，从而利用三角形不等式来进行解决。

05. “手拉手”模型——综合变式

# 05

本题是正方形背景下的“手拉手模型”，结合“问题背景”中的探究过程，以及等腰三角形的三线合一定理，则可以较为顺利的解决下列问题。

问题背景从等边三角形的“手拉手”模型入手，通过逻辑推理得到若干结论。问题2通信息交互对原图形进行改造，并提供了增加条件得 出新结论的不同思路。问题3与问题4利用一般化与特殊化的数学思维，从运动变化与基本图形变换两个角度对模型进行深化，而后设置的子问题需要在类比、化归等数学思维的指导下解决问题。

# end