第2讲　三角恒等变换与解三角形

高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

 1.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈(0,π/2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos²α.

则2sin α＝cos α，代入sin²α＋cos²α＝1，解得sin²α＝15，

又α∈(0，π/2)，所以sin α＝5)/5.

答案　B

2.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，

BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

  (1)求cos∠ADB；

考 点 整 合

1.三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.

(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α.

(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝ba.

2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式

(1)正弦定理

在△ABC中，a/sin A＝b/sin B＝c/sin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；

变形：a＝2Rsin A，sin A＝a/2R，

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.

(2)余弦定理

在△ABC中，a²＝b²＋c²－2bccos A；

变形：b²＋c²－a²＝2bccos A，

(3)三角形面积公式

S_△ABC＝1/2absin C＝1/2bcsin A＝1/2acsin B.

热点一　三角恒等变换及应用

探究提高　1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.

2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.

热点二　正弦定理与余弦定理

角度1　利用正(余)弦定理进行边角计算

【例2－1】 (2019·郑州调研)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.

(1)求角A的大小.

探究提高　1.高考的热点是利用正弦定理、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.

2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.

角度2　正、余弦定理的实际应用

【例2－2】 如图，小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为

探究提高　1.实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

2.实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.

【训练3】 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为(　　)

答案　B

热点三　与解三角形相关的交汇问题

探究提高　1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.

2.与解三角形有关的交汇问题的关注点

(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.

(2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.

【训练4】 (2019·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C.

(1)求cos B的值；