第2招：一争高下 - 利用指对幂函数性质比较大小

1.求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过指数(真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.

2.利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“

,

,

”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”),也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.

3.利用函数的单调性比较大小:例:

在

上单调递增,则

,

,

(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁).

总之,比较数式的大小,若同底,考虑指数函数(或对数函数),若同指,则考虑幂函数,再利用函数的单调性比较大小,若不同底,也不同指,则其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决,或者利用中间量法.

方法一:估算法

就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法.

例如比较

与

的大小.

因为

,进而可估计

是一个大于

且小于

的数,从而便于比较,同理可得

为大于

且小于

的数,所以

.

方法二:数形结合法

就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将比较大小与某些函数图象结合起来,利用函数图象性质,再辅以简单计算,确定正确答案的方法.

例如已知

,

,

,则( )

A.

B.

C.

D.

因为

,在同一平面直角坐标系中分别作出函数

,

,

的图象,如图所示:

由图象知

,由于函数

为增函数,∴

,∴

,故选C.

方法三:单调性比较法

解题时根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较大小,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,然后根据函数的单调性进行比较大小.

例如(2020·全国卷II理·11)若

,则( )

A.

B.

C.

D.

本题考查函数的单调性.由

,得

,即

,设函数

,则

,因为函数

在

上为增函数,

在

上为减函数,则

在

上为增函数,所以函数

在

上为增函数,所以

,所以

,所以

,故选A

方法四:对数法比较大小

题型特点:有些题目可以用函数方法或中间量的方法来比较大小,但是有些题目,靠上述手段很难比较大小,我们就需要新的武器——对数法比大小.

例如比较

与

的大小.

设

,则

,设

,则

,等号两边同时取对数有

,

,所以

,所以

,即

.

(2020·全国卷III理·12)已知

,

,设

,

,

,则( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】本题考查对数函数的性质、不等式的性质.易知

,

,

,由

,知

,因为

,

,所以

,

,即

,

,又因为

,

,所以

,即

,综上所述,

,故选A.

1.（2021八省联考）已知

且

,

且

,

且

,则( )

A.

B.

C.

D.

2.(原创）已知

,

,

,则

,

,

的大小关系为( )

A.

B.

C.

D.

3.（原创）三个数

,

,

大小关系是( )

A.

B.

C.

D.