· 问题描述:
残缺棋盘是一个有2k×2k(k≥1)个方格的棋盘,其中恰有一个方格残缺。如图给出k=1时各种可能的残缺棋盘,其中残缺的方格用阴影表示。
· 残缺棋盘问题就是要用这四种三格板覆盖更大的残缺棋盘。在此覆盖中要求:
1)两个三格板不能重叠
2)三格板不能覆盖残缺方格,但必须覆盖其他所有的方格。
小格子数(2k×2k -1)三格板中小格子数3。所以所需要的三格板总数为(2k×2k -1 )/3。
· 例如,一个4*4的残缺棋盘2k*2k
以k=2时的问题为例,用二分法进行分解,得到的四个k=1的棋盘。但要注意这四个棋盘,并不都是与原问题相似且独立的子问题。
因为当如图中的残缺方格在左上部时,第1个子问题与原问题相似,而右上角、左下角和右下角三个子棋盘(也就是图中标识为2、3、4号子棋盘),并不是原问题的相似子问题,自然也就不能独立求解了。当使用一个①号三格板覆盖2、3、4号三个子棋盘的各一个方格后,我们把覆盖后的方格,也看作是残缺方格(称为“伪”残缺方格),这时的2、3、4号子问题就是独立且与原问题相似的子问题了。
· 问题分析
从以上例子还可以发现
当残缺方格在第1个子棋盘,用①号三格板覆盖其余三个子棋盘的交界方格,可以使另外三个子棋盘转化为独立子问题;
当残缺方格在第2个子棋盘时,则首先用②号三格板进行棋盘覆盖
当残缺方格在第3个子棋盘时,则首先用③号三格板进行棋盘覆盖
当残缺方格在第4个子棋盘时,则首先用④号三格板进行棋盘覆盖,这样就使另外三个子棋盘转化为独立子问题。
程序代码思路:
表示方法:每个三格板需要用同一个数字表示,不同三格板编号不同。
源码:
- #include <iostream>
- #include <iomanip>
- using namespace std;
-
- int board[100][100]; //存放棋盘L型的标号数组;
- int tile=1; // L型骨牌号
- void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
- {
- if (size==1)
- return;
- int t = tile++; // L型骨牌号
- int s = size/2; // 分割棋盘
- //________________________________________________ 覆盖左上角子棋盘
- if (dr<tr+s&&dc<tc+s) // 特殊方格在此棋盘中
- chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
- else // 此棋盘中无特殊方格
- {
- board[tr+s-1][tc+s-1]=t; // 用 t 号L型骨牌覆盖右下角
- chessBoard(tr,tc,tr+s-1, tc+s-1, s);// 覆盖其余方格
- }
-
- //________________________________________________ 覆盖右上角子棋盘
- if (dr < tr + s && dc >= tc + s) // 特殊方格在此棋盘中
- chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);
- else // 此棋盘中无特殊方格
- {
- board[tr + s - 1][tc + s] = t; //用t号L型骨牌覆盖左下角
- chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);// 覆盖其余方格
- }
-
- //_______________________________________________ 覆盖左下角子棋盘
- if (dr >= tr + s && dc < tc + s) // 特殊方格在此棋盘中
- chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);
- else // 此棋盘中无特殊方格
- {
- board[tr + s][tc + s - 1] = t; // 用 t 号L型骨牌覆盖右上角
- chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);// 覆盖其余方格
- }
-
- //__________________________________________________ 覆盖右下角子棋盘
- if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) // 特殊方格在此棋盘中
- chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);
- else
- {
- board[tr + s][tc + s] = t; // 用 t 号L型骨牌覆盖左上角
- chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s); // 覆盖其余方格
- }
- }
- int main()
- {
-
- int size,dr,dc;
- cout<<"\t\t\t棋盘覆盖问题\n";
- cout<<"2^k×2^k 个方格变长size(size=2,4,8,16,32,64):";
- cin>>size;
- cout<<"分别输入特殊块的行下标dr,列下标dc(0-"<<(size-1)<<"):";
- cin>>dr>>dc;
- board[dr][dc]=0;
- cout<<"棋盘覆盖图:\n";
- chessBoard(0, 0, dr, dc, size);
-
- int i,j;
- for( i=0;i<size;i++)
- {
- for( j=0;j<size;j++)
- cout<<setw(6)<<board[i][j];//setw(6)//输出量不足6个字符时在左面填充空白
- cout<<endl<<endl;
- }
- return 0;
- }
分治递归执行步骤:
1)chessBoard(0, 0, 0, 0, 4);
{ t=1; s=2;
chessBoard(0, 0, 0, 0, 2);
{ t=2; s=1;
chessBoard(0, 0, 0, 0, 1);
{ s==1
return
}
以下三步
将左上角 三格板 用t=2覆盖
}
return
以下三步 对右上递归 先 用t=1 覆盖左下
左下递归 先 用t=1 覆盖右上
右下递归 先 用t=1 覆盖左上
递归处理类似。
}
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