河北省石家庄市平山县中山成公陪葬墓出土
河北省文物研究所藏
筹算方程
(相当于解多元一次方程组或解增广矩阵)
今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉,九斗四分斗之一,中禾一秉,四斗四分斗之一,下禾一秉,二斗四分斗之三。《九章算术·方程术》曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。馀如中禾秉数而一,即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。馀如上禾秉数而一,即上禾之实。实皆如法,各得一斗。筹算方程,上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。
(相当于解方程组“3x+2y+z=39,2x+3y+z=34,x+2y+3z=26”)
置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,于右方。中、左禾列如右方。将上禾、中禾、下禾的秉数三、二、一依次置于右列,三十九斗作为“实”置于右列。将上禾、中禾、下禾的秉数二、三、一依次置于中列,三十四斗作为“实”置于中列。将上禾、中禾、下禾的秉数一、二、三依次置于左列,二十六斗作为“实”置于左列。以右行上禾遍乘中行。以右列“上禾”位遍乘中列各数。而以直除。以右列首位除中列首位,得二,故以中列各数减右列各数之二倍,使中列首位为零。亦以直除。右列首位与左列首位相等,故以左列各数减右列各数,使左列首位为零。然以中行中禾不尽者遍乘左行。以中列“中禾”位遍乘左列各数。
而以直除。以中列首位除左列首位,得四,故以左列各数减中列各数之四倍,使中列首位为零。
左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。“法”为三十六,“下禾之实”为九十九。
求中禾,以法乘中行下实。“法”为三十六,乘中列之“实”二十四,得八百六十四。
中列,以一乘“下禾之实”九十九,得九十九,为此列“下禾之实”。
而除下禾之实。中列,“实”减此列“下禾之实”得七百六十五。
馀如中禾秉数而一,即中禾之实。以中列之“实”除以中禾秉数五,得百五十三,为“中禾之实”。
求上禾亦以法乘右行下实。“法”为三十六,乘右列之“实”三十九,得千四百零四。
右列,以一乘“下禾之实”九十九,以二乘“中禾之实”百五十三,为此列“下禾之实”与“中禾之实”。
而除下禾、中禾之实。右列,“实”减此列“下禾之实”、“中禾之实”,得九百九十九。
馀如上禾秉数而一,即上禾之实。以右列之“实”除以上禾秉数三,得三百三十三,为“上禾之实”。
实皆如法。以“下禾之实”、“中禾之实”、“上禾之实”,各除以“法”三十六。
各得一斗。算得,上禾一秉,九又四分之一斗,中禾一秉,四又四分之一斗,下禾一秉,二又四分之三斗。
详见:《九章》系列课程讲稿(十九)《方程》上
原文赏析
今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗。下禾八秉,益实一斗与上禾二秉,而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八,下禾一秉实五十二分斗之四十一。术曰:如方程。损之曰益,益之曰损。损实一斗者,其实过一十斗也。益实一斗者,其实不满一十斗也。——《九章算术·方程》
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