每日一题：数分训练（二）：上下极限

Problem 2.1：抱歉，昨晚去蹭课了，回来晚了！

Suppose that is a non-negative sequence satisfying

for all positive integers and some non-negative constant . Show that converges as .

翻译：

假设是一列非负序列，且满足：

对任意的正整数和非负常数.

证明：收敛到0.

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证明：

现在我们证明这件事情，事实上后边的常数可以不要，在证明过程中我们会发现这一事实：

记

,其中,我们通过归纳可以得到：

因此我们得到：

两边同时除以,可以得到：

两边对取上极限可以得到:

两边对取下极限，所以可以得到：

对数列而言上极限等于小于下极限，所以数列收敛.

Problem  2.2

For any positive sequence show that

for infinitely many n's, where e is base of the natural logarithm. Prove moreover that the constant e on the right-hand side cannot in general be replaced by any larger number.

翻译：

证明：对任何的正数序列,都有：无限个正整数,使得

且是最佳常数.即右边不可以用比更大的常数替换.

提示：都与上下极限有关.

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证明： 我们利用反证法来证明这一事情：

假设不存在无限个使之满足，这意味着从有限项后，数列

我们不妨假设从第项开始：不失一般性我们假设,当然你可让他为任何一个正数：

所以我们得到：

依次进行下去我们可以得到：

所以我们可以得到：

而注意到：

所以：

可以证明级数发散.

竟然分享不出来这首歌曲，！！！！太生气了！