高等数学.第一章.​数列

​一.分析方法.

        1.技巧:

        等价无穷小代换，洛必达法则，泰            勒公式。

        2.四种最基本的方法：

分子有理化

因式分解

利用“有界量与无穷小的乘积是无穷小”

利用已知极限

3.例题分析

（1）分子有理化

A:“∞-∞”型未定式，对于这种极限表达式中含有的有根号的情况，通常使用分子有理化方法来解答。

（2）因式分解

A：“0/0”未定式，原极限中的函数f(x)在x=1处无定义，将分子和分母同时因式分解，发现其有公因子（x-1）,而这个公因子正是导致f(x)在x=1出自定义的原因，约去公因子，进而求得极限值。

（3）有界量×无穷小=0

A:反正切函数的定义域为R,值域为（-π/2,π/2）。

（4）利用已知极限

重要极限：若丨q丨<1,则当n趋近于∞，q的n次方趋近于0.

​二.定理.

1.定理一

已知limf(x),limg(x)都存在，设极限值为A,B,则下面极限都存在，且有：

①lim［f(x)±g(x)］=A±B.

②limf(x)×g(x)=A×B.

③limf(x)/g(x)=A/B,此时需要B≠0.

极限号下的极限过程是一致的，同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

2.两个重要极限

例:利用重要极限，快速解答.

3.定理二

(等价无穷小)有界量×无穷小=无穷小.

4.定理三

当x趋近于0,下列函数都是无穷小，每个函数中的自变量x趋近于0，函数趋近于0.具有等价关系.

5.定理四

如果函数f(x),g(x),f¹(x),g¹(x)都是x趋进于x°时的无穷小，且f(x)~f¹(x),g(x)~g¹(X).

则当x趋近x°,limf¹(x)/g¹(x)存在时，limf(x)/g(x)也存在且与其相等，即x趋近x°,limf(x)/g(x)=limf¹(x)/g¹(x)。

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