物理中的微积分应用

(多选)如图（a），质量分别为m_A、m_B的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为x。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的a-t图像如图(b)所示，S₁表示0到t₁时间内A的a-t图线与坐标轴所围面积大小，S₂、S₃分别表示t₁到t₂时间内A、B的a-t图线与坐标轴所围面积大小。A在t₁时刻的速度为v₀。下列说法正确的是(　　)

A.0到t₁时间内,墙对B的冲量等于m_Av₀

B.m_A>m_B

C.B运动后,弹簧的最大形变量等于x

D.S₁-S₂=S₃

选择题，实物图和a-t告知主要的解题信息。已知条件的告知方式比较特殊，考的知识点到不至于太难，主要考查获取信息的方式。

解析题意：撤去F时，分析A的受力可知，刚开始A做简谐运动，加速度减小、速度增大。弹簧从压缩状态变到原长时（t₁时刻），B开始运动，弹簧从原长到最长的过程中，A减速，B加速，到达最长时（途中阴影部分最右端虚线对应的横坐标）A、B两物体速度相同。接着A继续减速，B继续加速，一直持续到弹簧到达原长（t₂时刻），此时B速度达到最大。接着弹簧从原长又开始被压缩。

0—t₁这段时间，弹簧从压缩到原长，A向右做加速度减小的加速运动，B物体不动；A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，动量不守恒。A在这一过程中动量变化为m_Av₀，等于弹簧在这一时间段内给A的冲量，弹簧对AB两物体的冲量等大反向，B物体动量变化为零，竖直方向重力和支持力平衡，所以在水平方向上墙对B的冲量与弹簧对B的冲量等大反向。

t₁—t₂这段时间，弹簧从原长到最大伸长量。系统机械能、动量双守恒。弹簧最长时从图中可知B的加速度大于A的加速度，两物体所受的合力大小都等于弹簧弹力大小，根据牛顿第二定律，B物体的质量要小于A物体的质量。

B开始运动后(t₁之后)，A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，动量守恒，弹簧最长或最短时，系统的动能不为零。从A开始运动起，系统的机械能守恒，弹性势能最大值就在刚撤F时，此时系统的动能为零。因此B运动后，弹簧的最大弹性势能总比刚撤F时小，因此形变量都小于刚开始的x。

D项是本题的最难项，这个选项应该就是搞区分度的。v-t图像、x-t图像比较熟悉，a-t图像教材中没画过，若能通过学习速度的定义式和前面两种图像的物理意义后通过类比理解a-t图像的物理意义，本题也就不太难了。

a-t图像的物理意义主要是面积和斜率，面积反映的是速度的变化量，注意是变化量，不是速度，虽然两者在数值上可能相等，但物理意义是不通过的，速度变化量是过程量，速度是状态量；斜率反映的是急动度，有的习题涉及过。

有了a-t图像面面积的物理意义，就可知道题干中的（v₀-0）=S₁，

t₁—t₂系统动量守恒，因此有：m_Av₀=m_Av_A+m_Bv_B

v_A=v_B

v_A=S₁-S₂

v_B=S₃

关于D选项，本人想表达这样一个观点，这个选项是给真正学懂物理的学生准备的。考得不仅是知识，更重要的是思维和方法，微元法和积分的方法从学习瞬时速度的定义和匀变速直线运动的位移时初步接触。后面学习中，只要出现与时间或空间对应的物理量的定义和规律时，微积分的思想就一直有，教材中没有显性的表示出来，但考题中不时有。

解决动力学问题的三大思路中，与时间或空间有关的物理概念和规律很多，加速度、速度的定义，牛顿第二定律、几个功能关系、动量定理，是最显性的阐述物理量与时间或空间关系的规律，这些规律都与微积分知识有密切的关系。

因此，对于理科生来说，数学上现在学习微分，不学习积分了，物理老师可以在课堂上适当补充一些简单的微积分知识，能力强的学生，可以自学一下。有了这些知识，探讨物理中有关图像的面积和斜率的物理意义，相对就会轻松很多，高等数学的入门知识就是微积分知识，说明这些知识是认识自然必不可少的工具知识。

拿本题来说，加速度从图上可以直接看出来，有了积分的知识，面积的含义就会准确地理解为速度的变化量，而不是速度。实际解题中，不选D项的同学就是在速度和速度变化量之间抓不清，导致错解，（S₁-S₂）是t₂时刻的速度，一旦错误理解，将S₂理解为t₂时刻的速度，就将D项遗漏了。

物理问题的解决首先是建立各种模型来转化为数学问题，再从数学角度解决后再回到物理实际。高中阶段从思维方法上来讲，微积分初步这部分知识对学习物理作用是最大的，是不是最难呢？起码从物理中的应用来说，我认为不是最难的，应该予以补充。