快乐课堂学数学-多余老师趣讲“二元一次方程组”-华东师范大学出版社七年级下册

一、 本单元概述

对于已经学习过的初一页数学内容，我们可以发现：

每一个新内容，都是在以往学习过的旧内容之上，再添加一些新变化。

比如：

从小学一年级开始学习的10以内加减运算，在后面变化为多位数加减、小数加减、分数加减，直至初中的有理数加减。

一元一次方程，也是由最简单的“填空”变化而来。

那么，二元一次方程组，在一元一次方程的基础上，有什么“变化”？有什么“新知识点”呢？如何用解一元一次方程的方法来解二元一次方程组呢？

二、概念学习

“二元一次方程组”这个概念，与一元一次方程相比：

“一元”变化为了“二元”，“方程”变化为了“方程组”。

先来研究“一元”到“二元”，有什么新变化。

1、要素

一元一次方程的要素是：等号、整式、一元、一次。标准形式为ax+b=0（a不等于0）

二元一次方程的要素，只是把“一元”变化为“二元”，要素为“等号、整式、二元、一次”。

2、标准形式

一元一次方程标准形式为ax+b=0（a不等于0）；

二元一次方程标准形式变化为“ax+by+c=0（ab不等于0，即a、b都不为0）

注意：

xy项，可不是一次哦，是二次。

3、方程的解

一元一次方程由标准形式可得出，一元一次方程有唯一解x=-b/a。

二元一次方程由标准形式变形，可得：x=（-by-c）/a，y=（-ax-c）/b；从而可知，二元一次方程的解不是唯一的。即，二元一次方程属于“不定方程”（没有确定解的方程），不定方程的解应用“解集”表示。

通过以上对比，可发现，二元一次方程的“新变化”中，最重要的是“解不唯一”。

所以，我们现在重点研究一下“二元一次方程的解集”。

由x=（-by-c）/a，y=（-ax-c）/b得，“y每任意取一个值，可得到唯一的x的值；x每任意取一个值，可得到唯一的y的值”。

因此，二元一次方程“有无数组解”；每一组解是“一一对应”的，所以二元一次方程的每一组解，要使用“{  ”（大括号）表示。

二元一次方程“有无数组解”，这么多解之间，有什么联系呢？都是由同一个二元一次方程得出，一定有它们的“共同基因”。

二元一次方程的每一组解，都是一组“有序数对（x，y）”，我们在小学时已经初步了解过“有序数对（x，y）”，如教室里的座位，可用（2，3）表示第二排第三列的位置，第4排第5列的位置可用（4，5）表示，即“有序数对（x，y）”和“位置”是”一一对应的。

怎么找到二元一次方程每一组“有序数对（x，y）”解的位置呢？

这就用到“数形结合”了。

我们可以用“一根数轴”来表示“有理数”，用“两根数轴”不就可以表示“有序数对（x，y）”吗？

我们来画“两根数轴图”，让这两根数轴“互相垂直、原点重合、单位长度相同”，水平的一根表示x，竖直的一根表示y。

画好“两根数轴图”，首先来表示最简单的二元一次方程x+y=5的解：

1、先任意得出x+y=5的几组解；

2、在“两根数轴图”上，找到这几组解“有序数对（x，y）”的位置，点上点。

3、观察这些“点”，看看有什么特征？用什么样的线可以把这些“点”边起来？

通过观察和实践，可以发现，这些“点”都在一条“直线”上。

我们再在直线上取一些“点”，看看这些“点”对应的“有序数对（x，y）”是不是二元一次方程的解。

经过实践反复验证，可得出：

二元一次方程有无数组解，这些解“具有线性关系”；即“二元一次方程的解集”与两根数轴图中的“直线”对应。

最后，研究二元一次方程组的“方程组”。

一个二元一次方程由无数组解，每组解要使用“{”表示；要想得到“一组确定解”，应该怎么办呢？

由“直线”可想到，两条直线相交，有一个“确定的交点”，所以，两个二元一次方程“联立”，可得出“一组确定解”，并且这“一组确定解”与两根数轴图中“两直线交点”对应。

其实，二元一次方程的每一组解，就是一个二元一次方程组，所以方程组也是使用“{”表示。

综上，可得出二元一次方程组的完整描述：

1、由两个等式联立。

2、每个代数式都是整式。

3、所有整式，一共有两个未知数。（注意，是一共有两个，不是每一个整式都有两个）

4、所有未知数项，最高次数为1。

即，二元一次方程组的要素为：两等式联立、整式、二元、一次。

再畅想一下，如果变化成“三元一次方程组”会怎么样？“N元一次方程组”会怎么样？

三、解二元一次方程组

我们已经会解各种各样的一元一次方程了，对于二元一次方程组，可以想到：

如何“转化”为一元一次方程呢？

这简单，“二元”变“一元”，就“消元”（变魔术，把其中一个未知数“消失”）嘛。

可是，如何“消元”呢？

“消元”，对于我们并不是全新的，在小学时已经干过了。

还记得“鸡兔同笼”吗？

知道了“鸡和兔”，一共有多少个“头”和多少只“脚”，求“鸡、兔各多少”？

这就是二元一次方程组呀。

当时是怎么解决的呢？用“假设法”。

假设全是鸡，或者全是兔，这不就是“消元”吗？全变成鸡，让兔“消失”或“让鸡消失”。

到了初中，我们把“消元”的方法，总结为“代入消元法”和“加减消元法”。

记住：“消元”是“规矩”，是必须的，“代入消元法、加减消元法”是“方法”，根据具体情况选用。

哪种方法更适合具体题目，自行选择。

“快速、简便、准确”的方法，就是好方法。

数学中，除了“基本性质”和“运算法则”外，都可根据实际情况“灵活选用”已学过的各种“变形方法”，以求达到“快速、简便、准确”。

小学计算中，有专门的“简便计算”要求，到中学后，一般不会再专门提这项要求，但“简便运算”这项要求，不是消失了，而是做为中学生，“简便运算”应该成为你遇到计算类问题的“条件反射”。

四、列方程解应用题

做二元一次方程应用题的主要步骤（由“一元一次”变化而来）：

⒈认真审题（审题）　

⒉分析已知和未知量　

⒊找一个或两个合适的等量关系　

⒋设两个恰当的未知数 　

⒌列出合理的方程组 （列式）　

⒍解出方程组（解题） 　

⒎检验　

⒏写出答案（作答）

第1至第3环节，是解决方程应用题的核心内容，但这些内容除了并不在解答中体现。

把这3个环节做好，第4和第5两个环节，就自然解决了。

余下的第6至第8环节就只是“解方程组”和“最后总结陈词环节”。

如何做好，第1至第3，这3个环节呢？

这就要用到，小学数学老师经常要求的“画线段图”和“列数量关系”。

只是由于“二元”，“画线段图”一般就得分别画“两条”了。

“列数量关系”可称为“列表法”：

1、审题，根据应用题的不同类型，“列出文字数量关系”，这相当于“表头”

2、将已知和未知量，相应“填在”对应的“数量项”。（表并不需要实际画出，但由于对应分析，相当于有一个“数量关系表”。

做为中学生，要养成把“文字”，快速转化为“数学语言”的习惯。

审题、分析时，能画图的先画图，因为图形最直观；不适合画图的，再“列表”；复杂一些的题目，需要二者结合使用。

总之，要把题目变得尽可能“直观、简洁”，并开始锻炼一项非常重要的“数学能力”——将要解决的每一道具体题目，都能总结成一种类型；从而做到——每解决一道新题目，就解决了一个新类型。

五、多余的话

做题要“守规矩”，但“规矩”只限于“性质和法则”，所谓“方法或步骤”并不是“规矩”。

数学，越学越活，你就把数学学通了、学精了。