改善课堂教学有效性的若干对策
国家基础教育实验中心（长春 130024） 孔凡哲 王威威
南京市游府西街小学 （南京 210000） 李莹[*]
《湖南教育.数学教师》2008年第1期
摘 要：有效的课堂教学具有很多个衡量指标。其中，师生的积极互动、高质量的课堂参与，有效的课堂提问，有效的课堂活动时间，合理的课堂结构，是其核心要素。本文认为，寻找师生互动的契合点及师生积极参与的方式方法，提高师生参与的质量和效果，强化提问的有效性和高效性，优化课堂活动时间和课堂教学结构，可以有效推动数学课堂教学走向高质量、高效率，促进学生真正获得可持续发展的数学能力和素养。
关键词：数学，课堂教学，有效性，参与，提问，时间，结构
众所周知，课堂教学是深化课程改革、落实素质教育的主渠道。理想的课程只有经过课程实施变成学生习得的课程，才能真正有效。
就数学来说，课堂教学的有效性涉及很多因素，什么是有效教学、如何做到有效教学，众说纷纭。一方面，这是由于课堂教学的复杂性所致——课堂教学是一个非常复杂的系统，受制于多个因素，而不是某一两个因素能左右的；另一方面，数学课堂教学具有典型的数学特性，不仅具有课堂教学的一般特性，更有数学课堂教学的特殊规律。
本文立足数学课堂教学的特殊性，在文[①]的基础上，拟从师生的课堂互动、参与，课堂提问、课堂活动时间、课堂结构四个方面入手，分析改善数学课堂教学有效性的若干对策。
一、课堂教学有效性的含义
课堂教学的有效性，一般是指，在实现基本教学目标的基础上，追求更大的教学效率与教学效益。其核心在于教学有效果、有效益、有效率。在这里，所谓“最大的教学效率与教学效益”，通常是指教学的实际效果至少不低于同类的一般水平。
在笔者看来，当前倡导的“关注课堂教学的有效、高效”，实际上在于倡导教学要有价值、有效果、有效率、有魅力。
在这里，有价值是回答了教学是否做了值得去做的事情，而教学的价值体现在是否满足了学习者的学习需要；有效果回答了教学是否做对了应该做的事情，教学的效果体现在达成了学习者所要实现的目标；有效率回答了教学是否做到了尽可能的好，教学的效率体现在学习者用最少的投入（时间、精力和金钱）达成最佳的效果（至少达到预期的目标，如果能有所增值，效果更佳）；有魅力回答了教学是否有长久深远的感染力、穿透力与亲和力，教学的魅力体现在实际的教学能吸引学习者继续学习。
之所以倡导课堂教学的有效性，其根本原因在于基础教育的改革发展对教师的课堂教学职责提出的新要求。在深化课程改革、实施素质教育的今天，教师的课堂教学职责在于：帮助学生检视和反思自我，明了自己想要学习什么和获得什么，唤起学生成长的渴望；帮助学生寻找、搜集和利用学习资源；帮助学生设计恰当的学习活动；帮助学生发现他们所学东西的个人意义；帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围；帮助学生对学习过程和结果进行评价，并促进评价的内在化；发现学生的潜能和性向。
二、提高课堂教学有效性的若干对策
正如前文所分析的，课堂教学是一个复杂的系统，仅仅从某个单一的视角改善课堂教学的实效性往往很难见效。
当然，这也不是不可以进行研究。基于笔者多年的课堂教学实证研究，我们认为，寻找师生互动的契合点及师生积极参与的方式方法，提高师生参与的质量和效果，强化提问的有效性和高效性，优化课堂活动时间和课堂教学结构，可以有效地推动数学课堂教学走向高质量、高效率。
（一）改善课堂提问体系，提高教学效率，促进师生的交流和互动，诱发学生数学学习的原动力。
课堂提问是师生交往、互动、理解对话的重要手段。课堂上教师与学生之间的交流，很多种情况下往往借助课堂提问来完成的。
在这里，有效的问题是指，能诱发学生深入思考、积极回答，并由此而主动参与教学活动的那些问题。这些问题在绝大多数情况下常常是一种手段而不是目的，即通过它们来影响学生动手操作，或者诱发学生深入思考，开展深层次的数学思考和交流。而有效的课堂提问，主要是指通过教师在课堂中的提问，引发学生主动思考，积极参与课堂教学活动，促进学生个体的全面、健康、可持续发展。
基于笔者已有的研究（如，①[②]等），我们认为，促进课堂有效提问的策略有如下几个：
1.调控课堂提问的难度
著名的俄罗斯心理学家维果茨基认为，人的认知结构可划分为3个层次：“已知区”、“最近发展区”和“未知区”[③]。人的认知水平就是在这3个层次之间循环往复，不断转化，螺旋式上升。
我们认为，课堂提问不宜停留在“已知区”与“未知区”，即不能太易或太难。问题太容易，则不能激起学生的学习兴趣，浪费有限的课堂时间；问题太难则会使学生丧失信心，无法保持持久的探索心理，使提问失去应有的价值。因而，富有经验的教师提问总能在不知不觉中唤起学生学习的热情，而后逐渐适度提高问题的难度。这些教师常常善于寻找学生的“已知区”与“最近发展区”的结合点，即在知识的“增长点”处布设悬念，在学生可能形成的思想、观念等原始生长点处设置问题。这样才能促进学生认知结构的形成、巩固和发展，使学生的认知能力得到迅速提高，并最终使认知结构的“最近发展区”转变为“已知区”。
对于有效提问的问题难度的刻画，我们可以借鉴教育测量学刻画试题难度的方法，用
2.调控课堂提问的频度
当前，中小学课堂教学中出现一些新变化，“满堂灌”演变为“满堂问”，发展为“满堂跑”。其实，无论是“满堂问”还是“满堂跑”，都是以“启发”“互动”的名义，其症结在于片面理解教学方式的变革，对于切实提高教学质量和效率毫无帮助，着实是低效教学甚至是无效教学。
事实上，“满堂问”下师生的“互动”似乎多，其实，许多问题是不必要问题（可有可无），问题诱发学生深入思考有关数学内容的目的和效果其实并不佳，而问题与问题之间的关联不强，不能形成“问题串”，不能形成与课堂教学目标密切相关的应有的问题系统。而“满堂跑”似乎学生“动起来了”，但这种“动”仅仅体现在活动上而未必是数学思维上，真正有效的课堂“动”在于积累学生的数学活动经验，强化学生对数学事实的理解和建构过程，丰富数学学习的情感体验和过程体验，这种“动”不仅体现在学生的动手操作上，更体现在手脑合一的协调发展。
再如，笔者长期进行课堂观察，下表就是笔者在一次课堂观察中的真实记录：
表1 《周长》一节课的各种提问行为类别频次表
行为类别 | 频次（次） | 百分比（%） |
A．提出问题的类别 2 和数学无关的问题 2 常规管理性问题 2 记忆性问题 2 理解性问题 2 推理性问题 2 创造性问题 | 1 13 33 26 3 0 | 1.3 17.1 43.4 34.2 3.9 0 |
B．挑选回答问题的方式 2 提问前先点名 2 提问后让学生齐答 2 提问后让举手者答 2 提问后让未举手者答 2 提问后改为其他同学 | 0 24 45 0 7 | 0 31.6 59.2 0 9.2 |
C．教师理答方式 2 自己代答 2 对学生回答没有响应 2 重复自己问题或学生答案 2 对学生的回答提出进一步问题 2 对学生回答鼓励或称赞 2 鼓励学生提出问题 2 对学生的回答做出指导 | 0 0 21 19 26 1 9 | 0 0 27.6 25 34.2 1.4 11.8 |
行为类别 | 频次（次） | 百分比（%） |
D．学生回答的类型 0、与数学无关问题的回答 2 无回答 2 机械判断是否 2 认知记忆性回答 2 理解性回答 2 创造评价性回答 | 0 2 3 34 34 3 | 0 2.6 3.9 44.7 44.7 3.9 |
E．停顿 2 提问后没有停顿或不足3秒 2 提问后停顿过长 2 提问后适当停顿3-5秒 2 学生答不出，耐心等待几秒 2 对特殊需要的学生，适当多停几秒 | 48 5 19 2 0 | 63.2 6.6 25 2.6 0 |
在这节课上，从课堂提问的频度来看，教师提问76次，课堂教学的时间为40.88分钟，平均每分钟要提问1.89次，表明教师提问的频率略高一些。如果频率保持在平均每分钟提问1～1.5次，也许更有利于教师和学生之间的对话和交流，给学生创设比较宽松的学习环境。
事实上，有效的课堂提问，主张根据教学的重点、难点精心设计问题串，注重问题的数量和质量的统一，着重培养学生发展问题、提出问题的能力，以及分析问题、解决问题的能力。
例如，在小学梯形面积公式的教学中，两位教师分别设计了如下问题：
①两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，那么，拼成的平行四边形的高和原梯形的高有什么关系呢? 拼成的平行四边形的底和原梯形的哪两条线段有关？拼成的平行四边形的面积和原梯形的面积有什么关系？怎样求这个梯形的面积？
②两个完全一样的梯形可以拼成一个什么样的图形？拼成的平行四边形的高和原梯形的高相等吗?拼成的平行四边形的底和原梯形的上底与下底的和相等吗？拼成的平行四边形的面积等于原梯形面积的几倍？平行四边形的面积怎样计算?梯形的面积又怎样计算？梯形的面积为什么是上底加下底的和乘以高, 还要除以2？
不难发现，前者设计的问题给学生留下的思考空间较大，有助于培养学生独立思考、自主学习的习惯; 而后者的提问不仅问题域过大，而且问题数量过多，问题过于直白、琐碎，这将直接抑制学生的学习兴趣以及参与回答的热情。
3、调整课堂提问的等候时间
我们在课堂上常常看到一种情况，教师提出问题之后，立即请学生作答，学生因为没有时间多加思考，因仓促导致紧张，无法回答或错误的回答教师提出的问题，长此以往，造成了学生沉重的心理负担和自信心不足，教师也没有达到预期的目标，如此提问往往是低效的甚至是无效的。例如，在前文的表1中，对于这节课而言，从教师理答的方式来看，教师比较注重鼓励学生，对培养学生的自信心起到了举足轻重的作用。同时，教师重复学生的回答所占的比例也很大，过多的重复学生的回答浪费了课堂教学时间，教师应该适当的控制自己的理答方式。从课堂提问的等候时间来看：教师在提出问题后应该给学生留有一定的思考时间，以提高学生回答的准确性，提高课堂教学效率。在这节课中提问后没有停顿或不足3秒的提问占63.2%，说明提问的等候时间较短，导致学生思考时间不足，做出的回答比较仓促。
一般情况下，教师在提问之后，要预留足够的准备时间，让学生思考之后有条理的作答。教师还可以在一位学生答题之后追加问题，延长等候时间，同时引起其他学生的思考，把班级其他学生的注意力引向学生的回答，这样，又可以做到师生互动，全面参与教学。那么，在学生回答之前究竟需要多久的等候时间？这个问题与教师提出什么样的问题同等重要。等候时间过长或过短都是无益的。一般来说，在问下一个问题、重复前一个问题，或叫另一个学生回答问题之前，应至少等待3秒钟，如果是开放性问题，需要全面考虑并对各种可能的回答权衡时，15秒的等待时间是恰当的。
4、利用鉴别课堂提问有效性的重要指标—— 沉默率
衡量课堂提问有效性最简单的办法之一，就是通过课堂提问的沉默率作出判断。这也是教师实施课堂教学调控的重要“抓手”之一。
沉默是指教师在课堂上发出问题信息以后，学生由于信息接收不畅、信息理解出现困难、偏差或者根据现有信息无法做出判断等原因而出现长时间的“无语状态”。所谓课堂提问的沉默率,是指在一节课中,针对课堂提问的问题, 学生沉默的次数与提问的总次数之间的比率。在一节45分钟的数学课上, 某教师提问60 次，而学生沉默了48 次，课堂提问引起的沉默率达到了80%，多数问题(包括不少“是不是”、“对不对”之类的“假问题”或称之为无关问题、不必要的问题) 缺乏针对性, 无法真启发学生的思维。或者是提问引起长时间的沉默，或者是回应人数寥寥，或者是答非所问，因此，这种提问往往是低效的。特别要指出的是，“无语状态”的沉默不同于启发式的“愤悱”状态，这里特指所提问题未能达到激发学生开展积极思维、并用适当语言予以表达的目的。一般情况下,课堂提问的沉默率不宜超过20%。课堂有些问题的提出只是引发学生深思而不是直接回答，就不是“无语状态”的沉默；沉思型(内向型)的课堂教学风格相比活泼型(外向型)，其课堂提问的沉默率要高一些。
在设计问题之前, 教师应该充分考虑学生的思维水平、认知结构特点。提出问题后如果学生沉默不语, 教师可以考虑转换自己提问的角度，转换问题的类型，改变问题的开放程度、问题的层次(如将综合性的问题转化为应用性的问题、理解性的问题或者事实性的问题)，或者用简明的语言重新表述自己的问题，进而提高提问的有效性。
5、调整问题类型比率及问题水平
在有效的课堂提问中，所提问题的开放程度是影响提问有效性的重要因素。
以前文所述的《周长》一节课为例，如表1所示，在这节课中，从提问的类别来看：记忆性问题所占的比例为43.4%，在整节课的课堂提问中比例较大，类似于“可不可以？”“同意吗？”“你赞同吗？”这样的问题出现的频率比较高，说明教师提问的水平比较低，这样不利于培养学生深入思考的学习习惯。
显然，表1反映出这节课的问题的类型不合理。而合理的问题系统需要搭配各类问题。其中，各类问题可以划分为两大类：封闭型问题与开放型问题。封闭型问题是将回答限定在一个或少数几个答案之内的问题，是为了让学生获得既定的、有确切答案的知识而设置的问题。而开放型问题是指问题没有固定的答案，是为了让学生独立思考，不循常规，寻找适当的解题方法。设置封闭型问题和开放型问题的主要依据是课堂教学内容的复杂程度。正如美国教育学家加里.D.鲍里奇认为，当课堂教学内容的复杂性较低时，封闭型问题和开放型问题的最佳比例是7: 3；而当课堂教学内容的复杂程度较高时，二者的最佳比例以6:4 为宜。另外，教师提问时根据学生不同的认知复杂水平提出复杂层次不同的问题。在一些群体差异加大的班级中一种涉及问题的方式是，应该使得各个认知层次上的不同回答都是正确的，虽然有的学生的回答并不完整，但你在评价的时候应该一问题所要求的行为复杂程度及学生对这种问题的反应能力为依据。例如，在初中数学教学中：
对于认知水平较高的学生可以这样问：“你能解出方程10=
（二）强化师生积极互动的层次与参与的质量，提高学的质量和效率，促进学生数学认知结构的完善和情感、意志、人格的发展。
当前，中小学课堂教学强调以学生的全面发展为本，倡导学生合作、自主、探究学习，学生应充分参与到教师教学过程中来，课堂教学不再是教师的“独角戏”。在教学过程中师生积极交流、沟通、理解和互动，教师与学生之间交流感情思想及观念，以促进师生双方共同发展。而师生互动不仅仅是双方特征或交往的简单总和，还受以往互动经历的影响，是双方互动经历、期望、观念、情感等综合反映，其互动主体是教师和学生，并且师生双方在互动中同等重要，互为主体的。
从师生互动、共同参与角度，如何做到有效教学？我们认为，首先，教师应该注重和学生的情感交流。以往的教学强调教师是活动的领导者、控制者、权威，教师首先以一种高姿态投入教学，往往给学生以压迫感，教师忽视学生的情感体验，只强调知识传授。数学课不能只是机械的复制公式、定理给学生。要使学生参与到课堂中来，教师首先要表现出自己丰富、具有感染力的情绪。学生在上课时对教师的情绪表现非常敏感。如果教师对所教学的数学课富有激情，通过面部表情、声调的抑扬顿挫、手势及整体的动作来展示这种兴奋，那么，此时此地此景，常常会“煽情”，教师的手势、目光、语调等等都会以一种信号传递给学生，这些都是教师与学生无声的情感交流，这些都影响学生的自我效能与自我成就感，特别是低年级学生更容易被教师的情绪所影响。因而，教师时刻注意与学生的情感交流是提高教学效率，使教学行为有效的“催化剂”。
其次，在数学课堂教学中，教师应多样化的呈现教学内容，变换多种教学方式引发学生学习兴趣，促使学生积极钻研、探索，参与到学习过程中来。加里·鲍里奇在其著作《有效教学方法》一书[⑤]中提到的多样化教学的几个特征含有参考借鉴价值，即：使用吸引注意的技巧（比如用挑战性问题、视觉刺激或举例来开始一节课），通过变化目光接触、语音和手势来展示热情和活力（比如改变高音或音量，在转向新活动时四处走动），变化呈现方式（比如演讲、提问、提供独立练习的时间等[每天的]），混合使用奖励和强化物（比如额外的学分，口头表扬，独立练习等[每周的、每月的]），把学生的想法和参与纳入教学的某些方面（比如使用间接指导或发散性问题等[每周的、每月的]），变化提问类型（比如发散性、聚合性的问题[每周的]和试探性的问题[比如澄清、探询、调整[每天的]）。
（三）提高课堂教学的有效活动时间，减少无效、低效活动，提高课堂教学效率，提升学生数学化的层次和水平。
例如，前文的“周长”这节课中，课堂教学时间与课堂教学行为时间分配如下表：
| 教师讲解 | 师生问答 | 学生活动 | 总教学 时间 | |
数学知识方面 | 德育方面 | ||||
时间 | 3′27″ | 24′12″ | 0″ | 17′24″ | 45′03″ |
占总课时 | 7.7% | 53.7% | 0% | 38.6% | 100% |
| 引入 | 展 开 | 小结 | ||
认识周长 | 测量图形的周长 | 计算长方形周长 | |||
占时 | 2′11″ | 6′45″ | 25′18″ | 9′31″ | 1′16″ |
提问（次） | 7 | 15 | 46 | 7 | 1 |
从总的教学时间来看，本节课共用了45′03″，比正常的小学数学课堂时间多用了5分钟3秒，从课堂教学效率的角度来看，这节课是低效的。从教师教学设计的层面来看，本节课的教学重点是让学生通过活动体验并感受周长的含义，从教学时间的分配来看，教师在认识周长这个教学环节来看用了6′45″，占整个课堂的14.96%，时间分配比较合理，从后来的学习效果来看学生基本理解了周长的含义，为后来测量图形的周长和计算长方形的周长奠定了基础；而本节课的教学难点是通过实际操作活动探究不同图形的周长测量策略，在本节课中学生活动的时间占38.6%，突出了教学难点，同时也给学生留出了比较充分的时间去探索和发现，说明教师比较重视学生对知识的探索和动手操作能力的培养。在本节课中师生问答所用时间占整节课的53.7%，说明学生是在和教师的对话和交流中学习的，师生问答的大部分时间是在交流周长的测量方法，教师给与及时的反馈，课堂气氛比较宽松。从整个教学环节来看，本节课内容含量很大，没有给学生巩固练习的时间。课程内容过多，学生没有消化理解的时机，教师也无法了解学生是否真的掌握了本节课的教学内容。
事实上，每节课的时间都是有限的，教师如何利用这有限的时间，是提高课堂教学效率的重要环节，是教学过程最优化的指标之一，教师数学课堂教学应该花费最少的必要时间和精力使学生获得最大的发展，在时间分配上根据不同学生的数学层次水平进行调整，力求提升每一位学生数学学习的层次和水平。
当前，在教学过程中，许多教师常常把握不好时间利用的尺度，一是表现为老师课上讲得太多,留给学生独立思考、讨论练习的时间太少、甚至没有，学生没有自主学习的时间和机会，使学生容易出现倦怠、厌烦等不稳定情绪，因此严重影响了教学效果，影响了课堂教学质量的提高。第二种现象表现为教师课上讲得太少，讲课内容太粗、欠透，学生自由活动时间太多，课堂结构松散, 至使学生吃夹生饭，久而久之造成松懈、涣散，课堂教学效率极低，这样的课堂看似课堂气氛好，实际上学生的学习效果并不好，因此，也不能称得上是高质量的课堂教学。第三种现象是教师对数学知识本身的传授和对德育知识的灌输时间分配不合理。有的教师不能利用学生在课堂教学中的表现生成一些相应的德育教育的课程资源，将数学教育与德育完全割裂开来。第四种表现是教师在课堂教学过程中不能合理的掌握时间，教学各个环节的时间分配不合理，以至于教学重点和难点没有能够很好的体现。
在实践运用上，教师首先要考虑学生学习活动的兴奋时间，在学生的兴奋时间内，学生注意力集中，精神饱满，思维活跃，教师在这一短时间集中讲授课程的重点、难点，使学生对知识有最好的吸收和理解。对于7-10岁儿童来说，注意力只能保持20分钟左右，一般教学效果较好的课堂时间分配较合理，以一堂新授课为例，一般整节课的各环节时间分配如下：铺垫3＇、导入2＇、新授15＇、反馈10＇、检测10＇，这样的时间分配保证了学生在注意力最集中的时间内学习新授内容。[⑥]
为了保证学生对知识反馈和检测的效率，经验丰富的教师通常运用多种教学方法和教学媒体吸引学生注意力。例如，运用具有学生感兴趣的多媒体课件使学生集中注意力；运用合作教学和讨论的形式，生生合作完成练习和反馈，让学生在活动中重新进入活跃的思维状态。在这里，值得一提的是，在合作教学中，也要注意时间利用问题。教师在组织合作教学时，把握不好讲解时间和学生合作研究时间的关系，常常出现这样的概况：学生的讨论正酣，教师却予以阻止，强行开始自己的讲解。事实上，在适当的时机，如果学生讨论可以收到更好的教学效果，教师完全可以延长学生讨论时间，缩短教师讲解时间。
（四）优化课堂教学结构，促进学生数学思维的全面提高。
课堂结构是指在一定教育思想指导下，为完成教学任务所建立起来的比较稳定的教学程序及其实施方法的策略体系。
课堂结构是否紧凑、合理，直接关系到教学的实际效果。特别是在数学课堂教学中，如何在有限的课堂教学时间内合理地安排教学活动，使教学质量得到最大的提高，不仅涉及课堂教学的实效性，而且与数学思维的发展密切相关。
1.合理的数学课堂教学结构有助于全面发展学生的数学思维
事实上，学生数学思维的发展，不仅包括人们熟知的演绎思维，而且也包括常常被人们忽视的归纳思维。
归纳是由个别或特殊的具体知识出发推出一般结论得到普遍原理的方法。归纳的前提是通过对个别事物或个别事例观察得到的经验材料，而归纳的结论是一般性原理，因此归纳是由特殊上升到一般，由感性上升到理性的重要思维方法。演绎是从一般性原理出发，得出对某思维对象的个别结论的思维方法。由一般引申出个别，是我们用原理和规律指导行动的重要思维方法。
如众所知，《数学课程标准》所倡导的“问题情景－建立模型－解释应用－拓展反思”表面上看是体现数学的过程与方法的目标。在笔者看来，其实这也是将学生的归纳思维的发展与演绎思维的发展巧妙地融合在一起的合理模式之一。
事实上，“问题情景、建立模型”对于培养学生的归纳思维十分有帮助，而“解释应用、拓展反思”对于培养学生的演绎思维十分有效。
正如弗赖登塔尔所言“与其说学习数学，倒不如说学习数学化”。笔者看来，数学化的过程包含“现实问题数学化”、“数学内部结构化、规律化”、“数学内容现实化”三个阶段。而“问题情境——建立模型”阶段更有利于培养学生的归纳思维。学生从现实生活出发，发现现实问题并转化为数学问题，即“现实问题数学化”。问题源于情境，情境中的背景必须与数学问题现连，与学生的生活经验和数学学习经验相关，使学生可以从情境中抽象出数学问题，概括出内在的数学特征和规律，形成概念、原理等。例如，小学二年级学习5的乘法口诀时以对奥运五环旗观察的为问题情境，在计算环数的同时使学生自己列出5的乘法，从而使学生亲身体验从理解乘法的意义到自己总结出5的乘法口诀的各个阶段。学生在具体的问题情境中，经历构建数学模型分析解决问题进而得出结论的全过程。其中，从情境中抽象出数学问题的过程中，学生的归纳思维得到了很好的培养和锻炼。
相比之下，学生运用归纳思维抽象出数学规律使“数学内部结构化”之后，通过“解释应用——拓展反思”实现“数学内容现实化”，即将一般性数学公理应用到个别问题之中。这个过程确实能够提升学生的演绎思维能力的发展。归纳思维与演绎思维的同步发展，才可能造就建有创新潜能和雄厚数学基础的人才。
当然，值得一提的是，当前数学课堂教学结构并非仅有“问题情景→建立模型→解释应用→拓展反思”一种，而是因数学内容的不同、学生的不同、教学条件环境的不同而采用灵活多变的结构。特别地，探究发现式与有意义接受式互补并存，即“问题情景→建立模型→解释应用→拓展反思”的探究式的课堂结构，与“能激发有意义学习的问题情景→概念→公理、定理、法则、公式→应用、强化→形成数学内容体系”的接受式的模式并存。
2.教学过程与结构的最优化有助于提高课堂教学效率
数学课堂教学结构本身是一个系统，教学的目标，内容和方法是相互联系、相互作用的。著名的教育学家巴班斯基把教学过程看成一个系统，他认为教学的过程包括：教学目的和任务、教学内容、教学方法、教学组织形式和教学结果，这些结构成分构成完整的系统，是有机联系的。巴班斯基明确指出：“要使教学最优化，就必须以辩证的系统方法看待教学过程，所谓辩论的系统观点，就是必须把教学过程的所有成分，师生活动的内外条件都看成是相互联系的东西，并自觉从中选择出在当前条件下，教学任务、内容、形式和方法的最好方案”。[⑦]
在日常教学中，不少教师无法科学合理地把握教学，在学生课堂学习的黄金时段大多精力放在导入、复习上，而新授课讲解时由于时间不足或学生注意力分散无法收到良好的教学效果。而有些教师在教学时对于课堂教学结构的安排过于死板，单纯遵循“组织教学-复习旧课-讲授新课-复习巩固-布置作业”的教学法，不能灵活的安排教学环节，突破教学难点，实现教学目标。
合理高效的教学结构安排应该各部分衔接自然、流畅，时间长短适当，教学重点、难点突出，并能恰当的组织材料，学习重点、难点。以小学统计课堂教学为例，有效的小学统计课，往往首先以学生感兴趣的话题来提出问题，引导学生进一步思考，看到生活中的数学问题，使学生感觉到数学的意义和必要性。然后，在这一问题引导下，使同学们积极、自然的参与到统计活动中来，体现了教师课堂各个教学结构因素之间过渡自然的特点，使学生亲历数据收集、整理和分析判断的统计过程，感受统计活动的各个环节，突出了教学的重点。而对小组合作结果的描述让全体学生都参与到自己感兴趣的统计活动中，通过对调查数据的描述过程，让同学们对于统计图的认识有了更深刻的理解。
在本文中，我们阐述了数学课堂教学有效性的一些主要因素，但并不是全部。要考察一节课的实效，还要从多方面全面加以考察。事实上，数学课堂教学的有效性，不仅体现在短期目标的实现，例如，具体的一堂课、一节课的教学目标的实现，而且也表现在长期目标的达成效果，特别是对学生终生可持续发展的那些目标的实现（诸如发现问题、提出问题能力的培养等等），不仅表现在全体学生的学习质量和效率，而且更包含着教学的受益面的广泛性和学生的个性化发展的全面性。
由此看来，数学课堂教学的有效性问题是一个系统的、复杂的问题域，必须采用复合的多种手段、多种渠道才能逐步加以解决。同时，课堂教学的有效性又是一个动态发展的过程，一些既定目标的实现常常孕育着更高层次、更高效率的新目标的追求。也就说，数学课堂教学有效性的研究是一个持续不断的动态过程，永无止境。
[*]作者简介：孔凡哲，男，教育学（数学教育方向）博士，现任国家基础教育实验中心副主任，东北师范大学课程与教学论专业教授。王威威，女，东北师范大学课程与教学论专业2006级硕士生。李莹，女，硕士，南京市琅琊路小学数学教师。
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