中考专项 | 等腰三角形配套训练答案与解析

命题点1：(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,

∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.

∵AD⊥BC,BE⊥AC,

∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.

∴∠CAD=∠CBE.

又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,

∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,

∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.

命题点2：分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法.

(1)证明:∵△ABC为等边三角形,

∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.

在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.

(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.

∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.

变式训练：证明:∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵点D是AC边上的中点,

∴∠ABD=∠CBD=30°.

∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.

又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.

∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.

命题点3：分析:(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线知识和点Q的坐标,可确定l上的另一点A.

解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5.

∵∠COD=90°,

∴点D的坐标为(3,0).

(2)过点Q作QM⊥x轴于点M.

当点Q的坐标为(3,2)时,

如题图,OM=3,MA=2,QM为△FAB的中位线,∴FM=2,即FA=4.

而AB=4,FA=AB,而l为BF的中垂线,

∴点A在l上.∴l的解析式为y=-x+5.

当Q点坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,

而CB=5,∴CF=CB.

∵l为BF的中垂线,∴点C在l上.

命题点4：分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证△BDF与△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件“HL”,证明Rt△ADF与Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC.

独坐幽篁里，弹琴复长啸。
深林人不知，明月来相照。

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