小乐数学科普：只有数学才能解开的物理学核心之谜——译自Quanta Magazine量子杂志
作者：Kevin Hartnett 量子杂志高级作家 2021-6-10 译者：zzllrr小乐 2021-6-11全文7484字，预计阅读时间20分钟。立即关注zzllrr小乐公众号，数学科普不迷路。
在过去的一个世纪里，量子场论（QFT）被证明是有史以来最广泛和最成功的物理理论。它是一个涵盖许多特定量子场论的总称——“形状”涵盖了正方形和圆形等特例。这些理论中最突出的被称为标准模型，这种物理学框架取得了如此成功。
“它可以从根本上解释我们做过的每一个实验，”剑桥大学的物理学家David Tong说。但是量子场论（QFT）无疑是不完整的。物理学家和数学家都不知道是什么使量子场论成为量子场论。他们已经瞥见了全貌，但他们还不能弄明白。“有各种迹象表明可能有更好的方式来思考 QFT，”高级研究所的物理学家Nathan Seiberg说。“它给你的感觉是一种你可以从很多地方触摸到的动物，但你并没有完整看到它。”数学这门语言，需要内部一致性和对每一个细节的关注，或许能使 QFT 变得完整。如果数学能够像描述完善的数学对象那样严格地描述 QFT，那么可能会出现更完整的物理世界图景。“如果你真正理解量子场论中的一个适当的数学方法，这将给我们解答许多开放物理问题，甚至包括重力的量子化”，高级研究所长Robbert Dijkgraaf说。这也不是一条单行道。几千年来，物理世界一直是数学最伟大的缪斯女神。古希腊人发明了三角学来研究恒星的运动。数学转变为一门具有定义和规则的学科，学生们现在可以在不参考天体起源主题的情况下学习这些规则。将近 2000 年后，艾萨克·牛顿想要了解开普勒的行星运动定律，并试图找到一种严谨的思考无穷小的方法。这种冲动（以及来自戈特弗里德·莱布尼茨的启示）催生了微积分领域，数学对此利用和改进——没有它就几乎不可能有今天的数学。现在，数学家们想对 QFT 做同样的事情，将物理学家为研究基本粒子而发展的思想、对象和技术纳入数学的主体。这意味着定义 QFT 的基本特征，以便未来的数学家不必考虑理论最初出现的物理背景。回报可能是巨大的：当数学找到新的探索对象，以及刻画了一些数字、方程和形状之间最重要的关系的新结构时，它就会成长。而这两者QFT皆有提供。“作为一种结构，物理学本身非常深刻，而且通常是思考我们已经感兴趣的数学事物的更好方式。这只是一种更好的组织方式，”奥斯汀的德克萨斯州立大学数学家 David Ben-Zvi说。至少在 40 年里，QFT 一直吸引着数学家各种追求的想法。近年来，他们终于开始了解 QFT 本身的一些基本对象——将它们从粒子物理学世界中抽象出来，并将它们本身转化为数学对象。罗格斯大学的物理学家Greg Moore说：“我们不知何时到达，然而我当然希望看到的只是冰山一角。” “如果数学家真的了解 [QFT]，那将导致数学的深刻进步。”人们普遍认为宇宙是由基本粒子构成的：电子、夸克、光子等。但是物理学很久以前就超越了这种观点。物理学家现在谈论的不是粒子，而是称为“量子场”的事物，它是（编织）现实的真正经纬线。这些场横跨宇宙的时空。它们种类繁多，像翻滚的海洋一样波动。随着场的涟漪和相互作用，粒子从中涌出，然后又消失在里面，就像波浪的波峰一样。“粒子不是永远存在的物体，”Tong说。“而是场之间的舞蹈。”要理解量子场，最容易从一个普通的或经典的场开始。例如，想象一下测量地球表面每个点的温度。将可以进行这些测量的无限多点组合在一起形成一个几何对象，称为场，它将所有这些温度信息打包在一起。一般而言，只要你有一些可以在空间中以无限精细分辨率唯一测量的量，就会出现场。加拿大滑铁卢的Perimeter理论物理研究所的物理学家Davide Gaiotto说：“你可以就每个时空点提出独立的问题，比如这里和那里的电场是什么。”当你在空间和时间的每个点观察量子现象（例如电子的能量）时，就会产生量子场。但是量子场与经典场有着根本的不同。地球上某个点的温度就是它的温度，不管你是否测量它，然而电子在你观察到它们之前却都没有确定的位置。在此之前，它们的位置只能通过概率来描述，通过为量子场中的每个点分配值来捕捉你在那里与其他地方找到电子的可能性。在观察之前，电子基本上处处都不在，并且处处都在。“物理学中的大多数事物不仅仅是物体；而是存在于空间和时间的每一个点上的事物。”Dijkgraaf 说。量子场论附带了一组称为相关函数的规则，这些规则解释了场中某个点的测量如何与另一点相关。每种量子场论都在特定数量的维度上描述物理学。二维量子场论通常可用于描述材料的行为，如绝缘体；六维量子场论与弦论特别相关；四维量子场论描述了我们实际四维宇宙中的物理学。标准模型就是其中之一；它是唯一最重要的量子场论，因为它最能描述宇宙。有 12 种已知的基本粒子构成了宇宙。每个都有自己独特的量子场。标准模型为这 12 个粒子场添加了四种力场，代表四种基本力：重力、电磁力、强核力和弱核力。它将这 16 种场组合在一个方程中，描述了它们如何相互作用。通过这些相互作用，基本粒子被理解为各自量子场的波动，物理世界就出现在我们眼前。这听起来可能很奇怪，但物理学家在 1930 年代意识到基于场而不是粒子的物理学解决了一些最紧迫的不一致性问题，比如因果关系问题，粒子不会永远存在的事实等等。它还解释了在物理世界中看似不可能的一致性。Tong说：“宇宙中所有同类型的粒子都是一样的。” “如果我们去大型强子对撞机并制造一个新铸造的质子，它与已经旅行了 100 亿年的质子完全相同。这值得作一些解释。” QFT 就提供了解释：所有质子都只是同一底层的质子场（或者，如果你可以更仔细地观察，底层的夸克场）中的波动。“量子场论是迄今为止数学中最复杂的对象，以至于数学家不知道如何理解它们，”Tong说。“量子场论是尚未被数学家发明的数学。”当你在一个点测量量子场时，结果不是坐标和温度等几个数字。而是一个矩阵，即一个数字数组。也不是任意矩阵——是一个很大的矩阵，称为算子（operator），具有无限多的列和行。这反映了量子场怎样包含从场中出现的粒子的所有可能性。约克大学的Kasia Rejzner说：“一个粒子可以有无数个位置，这导致描述位置和动量的度量的矩阵也必须是无限维的。”理论产生无穷大时，会产生物理相关性的质疑，因为无穷大作为一个概念存在，而不是任何实验可以测量的东西。它还使理论难以在数学上使用。“我们不喜欢有一个说明无穷大的框架。这就是为什么你开始意识到需要对正在发生的事情有更好的数学理解，”阿姆斯特丹大学的物理学家Alejandra Castro说。当物理学家开始思考两个量子场如何相互作用时，无穷大的问题变得更糟，例如，当在日内瓦郊外的大型强子对撞机上模拟粒子碰撞时。在经典力学中，这种类型的计算很容易：要模拟两个台球碰撞时会发生什么，只需使用指定每个球在碰撞点处的动量的数字即可。当两个量子场相互作用时，你想做类似的事情：在时空中恰好相遇的点处，将一个场的无限维算子乘以另一个场的无限维算子。但是这个计算——将两个无限靠近的无限维对象相乘——是困难的。“此乃事情变得非常糟糕所在，”Rejzner 说。物理学家和数学家无法使用无穷大进行计算，但他们已经开发出了变通方法——近似数量的方法来避免问题。这些变通方法产生近似预测，这已经足够好了，因为实验也不是无限精确的。“我们可以进行实验并测量到小数点后 13 位，他们同意所有 13 位小数。这是所有科学中最令人惊讶的事情，”Tong说。一种解决方法是先想象你有一个没有发生任何事情的量子场。在这种情况下——被称为“自由”理论，因为它没有相互作用——你不必担心乘以无限维矩阵，因为没有任何东西在运动，也没有任何东西发生碰撞。这种情况很容易用完整的数学细节来描述，尽管这种描述不值一提。“这很无聊，因为你描述了一个没有任何互动的孤独场，所以这有点像学术练习，”Rejzner 说。但是你可以让它更有趣。物理学家拨弄相互作用，试图保持对图像的数学控制，因为他们使相互作用更强。这种方法称为微扰 QFT，因为你允许自由场中的微小变化或扰动。你可以将微扰视角应用于类似于自由理论的量子场论。它对于验证实验也非常有用。“你获得了惊人的准确性，惊人的实验一致性，”Rejzner 说。但是，如果你不断增强相互作用，微扰方法最终会过热。它没有产生接近真实物理宇宙的越来越准确的计算，而是变得越来越不准确。这表明，虽然微扰方法是实验的有用指引，但最终它不是尝试和描述宇宙的正确方法：它实际上很有用，但在理论上却很不稳定。Gaiotto 说：“我们不知道如何把所有事情加起来，得到一些合理的东西。”另一种近似方案试图通过其他方式悄悄靠近成熟的量子场论。理论上，量子场包含无限细粒度的信息。为了构建这些场，物理学家从网格或格栅开始，并将测量限制在格子线相互交叉的地方。因此，你不能在任何地方测量量子场，而是只能在相距固定距离的选定位置进行测量。从那里，物理学家提高了格栅的分辨率，将线拉得更近，以形成越来越精细的编织。随着它变紧，你可以进行测量的点数量会增加，接近理想化的概念，即你可以在任何地方进行测量。“点之间的距离变得非常小，这样的东西就变成了一个连续的场，”Seiberg说。用数学术语来说，他们说连续量子场是紧缩格栅的极限。数学家习惯于处理极限，并且知道如何确定某些极限确实存在。例如，他们证明了无限序列 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + ... = 1. 物理学家想证明量子场是这个格化过程的极限。只是不知道如何做。“目前还不清楚如何达到这个极限以及它在数学上的意义，”Moore说。物理学家并不怀疑紧缩格栅正在朝着量子场的理想化概念发展。QFT 的预测与实验结果之间的密切拟合强烈表明情况确实如此。“毫无疑问，所有这些极限都确实存在，因为量子场论的成功确实令人惊叹，”Seiberg说。但是有强有力的证据表明某件事是正确的，与最终证明它是正确的，是两件不同的事情。这是某种程度上的不精确性，与 QFT 想要取代的其他伟大的物理理论不一致。艾萨克·牛顿的运动定律、量子力学、阿尔伯特·爱因斯坦的狭义和广义相对论——它们都只是 QFT 想要讲述的更大故事的一部分，但与 QFT 不同的是，它们都可以用精确的数学术语写下来。“量子场论作为一种几乎通用的物理现象语言出现，但它的数学形式很糟糕，”Dijkgraaf 说。对于一些物理学家来说，这是暂停的原因。“如果整个房子的人都依赖于这个本身无法以数学方式理解的核心概念，那么你凭啥如此自信认为它能描述世界？这加剧了整个问题，”Dijkgraaf 说。即使在这种不完整的状态下，QFT 也促成了许多重要的数学发现。相互作用的一般模式是，使用 QFT 的物理学家偶然发现了令人惊讶的计算，然后数学家试图解释这些计算。在基本层面上，物理现象与几何有着密切的关系。举一个简单的例子，如果你让一个球在光滑的表面上运动，它的轨迹将指明任意两点之间的最短路径，这个属性被称为测地线。通过这种方式，物理现象可以检测形状的几何特征。现在用电子代替台球。电子概率性地存在于一个表面的任何地方。通过研究捕获这些概率的量子场，你可以了解该表面（或流形，用数学家的术语）的整体性质，例如它有多少个孔。这是几何学和拓扑学相关领域的数学家想要回答的一个基本问题。“一个即使坐在那里，什么都不做的粒子，也会开始知道流形的拓扑结构，”Tong说。1970 年代后期，物理学家和数学家开始应用这种观点来解决几何中的基本问题。到 1990 年代初，Seiberg 和他的合作者Edward Witten（爱德华·威滕）想出了如何使用它来创建一种新的数学工具——现在称为 Seiberg-Witten 不变量——将量子现象变成一个形状的纯数学特征的指数：计算量子粒子某种方式行为的次数，而你已经有效地计算了形状中的孔数。牛津大学数学家 Graeme Segal说：“威滕表明，量子场论对几何问题给出了完全出乎意料但又完全准确的见解，使棘手的问题变得可以解决。”这种交流的另一个例子也发生在 1990 年代初期，当时物理学家正在进行与弦理论相关的计算。他们根据根本不同的数学规则在两个不同的几何空间中执行它们，并不断产生相互精确匹配的长组数字。数学家们继续发力，将其详细阐述为一个全新的研究领域，称为镜像对称，研究并发性以及许多其他类似性质。Ben-Zvi 说：“物理学会提出这些惊人的预测，数学家会尝试用自己的方法来证明它们。” “这些预测既奇怪又精彩，结果证明它们几乎总是正确的。”但是，尽管 QFT 成功地为数学提供了线索，但其核心思想仍然几乎完全存在于数学之外。量子场论并不是数学家能够很好地理解以使用他们可以使用多项式、群、流形和其他学科支柱（其中许多也起源于物理学）的方式的对象。对于物理学家来说，与数学的这种疏远关系表明他们需要了解更多关于他们诞生的理论。“过去几个世纪以来物理学中使用的所有其他想法在数学中都有其自然的地位，”Seiberg说。“这显然不是量子场论的情况。”而对于数学家来说，似乎 QFT 和数学之间的关系应该比偶尔的互动更深入。这是因为量子场论包含许多对称性或基本结构，它们决定了场不同部分中的点如何相互关联。这些对称性具有物理意义——它们体现了正如量子场随时间演变，能量等物理量是如何守恒的。而它们本身也是数学上有趣的对象。“数学家可能关心某种对称性，我们可以把它放在物理环境中。它在这两个领域之间建立了这座美丽的桥梁，”Castro说。数学家已经使用对称性和几何的其他方面来研究从不同类型方程的解到素数分布的所有内容。通常，几何对有关数字的问题的答案进行编码。QFT 为数学家们提供了一种丰富的新型几何对象——如果他们能直接用到它，他们将能做出许多无法预知的事。“在某种程度上，我们在玩 QFT，”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家Dan Freed说。“我们一直在使用 QFT 作为外部刺激，但如果它是内部刺激就好了。”数学不会轻易接受新科目。许多基本概念都经过了长期的试验，然后才在该领域找到了合适的、规范的位置。譬如，实数 - 数轴上的所有无限多个刻度标志。数学需要近 2000 年的实践才能就定义它们的方式达成一致。最后，在 1850 年代，数学家确定了一个精确的三词陈述，将实数描述为“完备有序域”。它们是完备的，因为它们不包含间隙；它们是有序的，因为总有一种方法可以确定一个实数是否大于或小于另一个实数，并且它们形成了一个“域”，对于数学家来说，这意味着它们遵循算术规则。Freed说：“这三个词在历史上是被强烈争论的。”为了将 QFT 变成一种内部刺激——一种他们可以用于自己目的的工具——数学家们希望对 QFT 进行与他们对实数相同的处理：任何特定量子场论都需要满足一个清晰的特征列表。许多将 QFT 部分翻译成数学的工作来自Perimeter研究所的一位名叫Kevin Costello的数学家。2016 年，他与他人合著了一本教科书，将微扰 QFT 置于牢固的数学基础上，包括对随着交互次数增加而出现的无限量形式化处理。这项工作是在 2000 年代早期的一项名为代数量子场论的工作之后进行的，该工作寻求类似的目标，Rejzner在 2016 年的一本书中对其进行了评论。所以现在，虽然微扰 QFT 仍然不能真正描述宇宙，但数学家知道如何处理它产生的物理上无意义的无穷大。“他的贡献非常巧妙和有见地。他将 [微扰] 理论置于一个适用于严格数学的良好的新框架中，”Moore说。Costello 解释说，他写这本书是为了让微扰量子场论更加自洽。“我只是发现某些物理学家的方法没有动机和针对性。我想要数学家可以使用的更独立的东西，”他说。通过准确说明微扰理论的工作原理，Costello创造了一个基础，物理学家和数学家可以在此基础上构建满足其微扰方法要求的新型量子场论。它很快被该领域的其他人所接受。“当然有很多年轻人在这个框架下工作。[他的书]产生了影响，”Freed说。Costello还一直致力于定义量子场论是什么。在精简的形式中，量子场论需要一个几何空间，你可以在其中对每个点进行观察，并结合相关函数来表达不同点的观察结果如何相互关联。Costello 的工作描述了一组相关函数需要具有的属性，以便作为量子场论的可行基础。最熟悉的量子场论，如标准模型，包含可能并非在所有量子场论中都存在的附加特征。缺乏这些特征的量子场论可能描述了其他尚未发现的特性，这些特性可以帮助物理学家解释标准模型无法解释的物理现象。如果你对量子场论的想法过于接近我们已经知道的版本，你甚至很难想象其他必要的可能性。“有一个很大的灯杆，你可以在它下面找到场理论（比如标准模型），它周围是漆黑一片（量子场论），我们不知道如何定义，但我们知道它们就在那里，”Gaiotto说。Costello用他对量子场的定义照亮了一些黑暗的空间。从这些定义中，他发现了两个令人惊讶的 新量子场论。两者都没有描述我们的四维宇宙，但它们确实满足了配备相关函数的几何空间的核心需求。他们纯粹思考的发现非常类似于你可能会发现的物理世界中存在的第一个形状，但是一旦你对形状有了一般定义，你就可以思考与物理无关的例子。如果数学可以确定量子场论的全部可能性空间——满足涉及相关函数的一般定义的所有不同可能性——物理学家可以使用它来找到解释他们最关心的重要物理问题的特定理论的方法。“我想知道所有 QFT 的空间，因为我想知道量子引力是什么，”Castro说。有很长的路要走。到目前为止，所有用完整数学术语描述的量子场论都依赖于各种简化，这使得它们在数学上更容易使用。几十年前，简化问题的一种方法是研究更简单的二维 QFT，而不是四维 QFT。法国的一个团队最近确定了一个著名的二维 QFT 的所有数学细节。其他简化会假设量子场以与物理现实不匹配的方式对称，但这使它们从数学角度更易于处理。这些包括“超对称”和“拓扑”QFT。下一个更困难的步骤将是去除拐杖并提供更适合物理学家最想描述的物理世界的量子场论的数学描述：四维连续宇宙，其中所有相互作用都是可能立刻发生。“这是（一件）非常尴尬的事情，我们没有一个单一的量子场论，使我们可以在四个维度上无扰动地描述，”Rejzner 说。“这是一个难题，显然需要一两代以上的数学家和物理学家来解决。”但这并不能阻止数学家和物理学家贪婪地盯着它。对于数学家来说，QFT 是他们所希望的丰富的对象类型。定义所有量子场论共有的特性几乎肯定需要合并数学的两个支柱：分析，它解释了如何控制无穷大；几何，它提供了一种谈论对称性的语言。“就数学本身而言，这是一个引人入胜的问题，因为它结合了两个伟大的想法，”Dijkgraaf 说。如果数学家能够理解 QFT，那么就无法知道在解锁过程中会等来什么数学发现。数学家很久以前就定义了其他对象的特征属性，如流形和群，而这些对象现在几乎渗透到数学的每个角落。当它们第一次被定义时，不可能预料到它们的所有数学后果。QFT 对数学至少有同样的希望。“我喜欢说物理学家不一定知道一切，但物理学知道，”Ben-Zvi说。“如果你问对了问题，它已经有了数学家正在寻找的现象。”对于物理学家来说，对 QFT 的完整数学描述是他们领域首要目标的另一面：对物理现实的完整描述。“我觉得有一个知识结构涵盖了所有这些，也许它会涵盖所有物理学，”Seiberg说。
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