乔治·哈特（George W. Hart）是一名自由数学雕塑家/设计师，现已从石溪大学计算机科学系的研究教授职位上退休。他的100多件雕塑作品在世界各地公开展出，其中有许多在主要大学展出。他一直在寻找有趣的雕塑、讲座和研讨会机会。
图源：George Hart官网
作者：乔治·哈特（George Hart） 2024-3-29
译者：zzllrr小乐（数学科普公众号） 2024-3-29
图1《太阳天赋》
George Hart（乔治·哈特），《太阳天赋》（ Solar Flair，与Solar Flare太阳耀斑同音）
在这个直径 5 英尺的户外雕塑中，六十块相同的等离子切割不锈钢交织在一起，同时在 20 个 3 折顶点和 12 个 5 折顶点处相接。基于二十面体的 A₅ 对称性，并以菱形三十面体的 30 个面为基础，该形式传达了一种复杂的几何规则感。
图源：George Hart
“数学/艺术”正在成为一个标准术语，但它到底是什么或应该是什么？数学领域往往会随着时间的推移而成熟，通常从孤立研究的例子开始，然后观察联系，注意一般化，对深刻的本质形式化，最终阐明整个主题的组织思想被明确表达。在数学艺术领域有许多令人着迷的例子，可以说些有趣的事，其中有无数明显的联系，但制作数学艺术品的实践尚未被组织成任何一致的框架。我不会在这里尝试任何如此宏伟的事情，但我会建议数学家应该更加努力地关注数学艺术，既创造更多的例子，又批判性地研究它们。有许多未知因素需要澄清和形式化。甚至不清楚该领域应该放在哪里：它是应用数学的一个特定分支，还是从数学和艺术中产生的独立学科？研究有趣的例子是这个成熟过程中的关键一步。
图2《数字》
Jasper Johns（贾斯珀·琼斯），《数字》（Numbers）
这幅画的构图特色是以数字0到9的2×5数组。这些数字似乎只是作为中性物体来承载艺术家的色彩实验，但它们被放置在特定的顺序结构和维度中，而2 和 5 源自对10的因数分解，这引出了是否应该视其为“数学”艺术的问题。
图源：Lucas Richarz / CC BY-NC-ND 2.0
我认为我自己是一名应用数学家和雕塑家，运用数学技术和思想来创造几何艺术。我的大部分时间都花在设计和建造物理制品上，我将这些制品作为非正式地称为“数学/艺术”类别的审美对象提供给世界。我希望观众，无论是否受过数学训练，都会发现这些作品值得欣赏。我内心的数学家喜欢发现、思考和交流以雕塑形式体现的引人入胜的模式和关系。我内心的艺术家喜欢与创意艺术作品相关的自我表达、美学和文化丰富性。
从人类的角度来看，我发现数学与美术（fine art，尤指绘画和雕塑）的融合并不矛盾，而是一个巨大的共鸣。这是我生命的中心部分。然而，当试图对数学艺术的本质和力量进行任何理性反思时，人们会立即因为这个主题似乎不适合我们常用的形式分析工具这一事实而受阻。人们甚至无法以基本数学实践所需的严格方式来定义“艺术”。即使没有“艺术”的普遍定义，如果我们对某个特定对象是艺术达成一致，仍然可能对它是否也是“数学艺术”存在分歧。
如果没有坚实的基础，还有什么实质内容可以引起数学家的兴趣吗？我认为有，但是人们不能指望像在一本已经列出定义和定理的教科书中那样来处理这个主题。相反，人们必须将其视为小组解决问题会议上的一项挑战，其中人们思考例子和反例，并享受开始整理和理解最初令人困惑的想法疑云的共同过程。在数学/艺术的世界中可以找到智力和美学的宝藏，尽管用严格的术语表达它们可能并不容易。训练有素的数学家不仅能够很好地欣赏这个领域并推动它向前发展，而且能够阐明是什么使数学艺术成为一项值得人类努力的东西。
图3《不完整的开放立方体》
Sol Lewitt（索尔·勒维特），《不完整的开放立方体》（Incomplete Open Cubes）。
作为二十世纪极简主义和序列主义艺术的典范，这类作品让许多当代观众不禁问“这是艺术吗？”艺术家通过提供一个答案并让观众发现问题来提出谜题。数学家可以将其表达为枚举立方体 12 条边的所有 122 个连接子集，这些边张成 ℝ³ 且模刚性旋转的基数小于12。
图源：Rob Corder / CC BY-NC 2.0
几个世纪以来，哲学家们一直在争论不同的艺术定义，但没有解决方案。所提出的基本特征涉及美学（足够程度的美），或模仿性（某些主题的表现质量），或技术成就（原创的，独一无二的，手工制作的掌握），或情感与观众的关系（发人深省或感人至深，而不是功能性），甚至文化和机构的作用（“艺术家”在“博物馆”中的任何东西皆为艺术）。要了解这一令人敬畏的文献，请参阅 [1]。然而，鉴于在古典、当代和多元文化领域中发现了广泛的公认艺术对象和类别，并且考虑到人们如何衡量艺术的个体差异，这种尝试似乎注定要失败。特定例子的艺术性。数学家凭借其在制定和测验深思熟虑的定义方面的专业知识，毫无疑问特别擅长在任何声称被界定贴上“艺术”标签的对象集合的必要和充分条件中发现错误。
图4 2023年联合数学会议美术馆网页的首页
每年联合数学会议和桥梁会议上都会在精心策划的艺术展览画廊中展示各种媒介和数学主题。各种作品可以被认为是艺术、工艺、设计、模型或可视化。
图源：美国数学会
如果我们接受数学家的定义-定理证明思维方式不存在统一的“艺术”本质，那么我们应该如何进行呢？以及朝着什么目标迈进？多年来，我一直在考虑写一份“数学艺术宣言”，类似于二十世纪著名的“立体主义宣言”和“超现实主义宣言”（以及其他几十个宣言）。此类文件通常源自一个一致的社区，试图规定新兴艺术运动的价值观和动机。首先，我们有相关的社区吗？
作为一名几何雕塑家，我并不孤单。有一个庞大的支持性数学/艺术社区。联合数学会议上的年度艺术展 [2]、数学与艺术桥梁会议 [3]、数学与艺术杂志 [4]、美国数学协会MAA 艺术特别兴趣小组 (SIGMAA-ARTS) [5]、为期一学期的 ICERM 研讨会插图数学 [6][7] 以及大量出版的书籍和文章 [8] 都证明了该领域充满活力的健康状况。一个庞大的社区正在热情地创造和欣赏数学艺术。这主要由至少受过大学数学培训的人组成，但也包括广泛的数学爱好者、教育工作者和艺术家，他们对以创造性方式表达的模式和结构有天然的亲和力。某种类型的数学艺术宣言应该成为我们的正式目标吗？我的观点是，大家还没有就数学艺术的核心价值观达成一定程度的共识 [9]。
（顺便说一句，我应该指出，这篇文章的重点是数学/艺术创作，而忽略了这个社区的其他主旨，例如艺术史学家对数学与艺术之间联系的历史的观点 [10]，通过“风格学”（stylometry）对未签名艺术进行统计分析来确定作者身份 [11]，或将纯数学家所做的事情解释为一种以思想为媒介的艺术形式的研究 [12]。）
作为一名拥有数学学位并深入社区的专业几何雕塑家，我可以声称对该领域有一些见解。自《数学与艺术杂志》创刊以来，我一直担任该杂志的副主编。自桥梁会议 25 年前成立以来，我一直积极参与该会议，并在过去七年中担任桥梁组织主席，汇集了来自数十个国家的数百名参与者。我参与共同创办了纽约市数学博物馆，引进了用作品装饰博物馆的艺术家，并指定该博物馆必须包含一个艺术画廊空间来更换展品。我个人认识社区中相当大一部分人，并且毫无疑问阅读（和/或审阅）了一千多篇关于该主题的学术论文。
图5《忧郁症 I》
阿尔布雷希特·杜勒（Albrecht Durer），《忧郁症 I》（Melancholia I）
这幅神秘的雕刻包括一个4×4的幻方、一个绘图圆规、一个球体、一个神秘的多面体和其他象征性参考。人们已经做出了各种尝试来解释特定的多面体形状。它是一个立方体，被拉长成菱面体，然后被截断成可内切的球体吗？它可能象征着什么？
图源：公域
了解数学艺术的一个途径是查看已被JMM数学联合会议和桥梁会议策划的数学艺术展览所接受或在同行评审会议和期刊论文中描述的作品。人们会发现各种各样的媒介和主题，包括计算机生成的分形渲染、受埃舍尔（M. C. Escher，1898 - 1972）启发的手绘镶嵌图，或者数学对象如格、纽结、拓扑曲面或多面体的漂亮物理模型。这里有几何折纸、错综复杂图案的被子，以及令人惊叹的珠饰、钩编、针织和梭织手工制作的例子，每一个都有一个潜在的数学故事。除了3D打印和计算机控制木雕等新媒介之外，许多传统美术媒介，例如油画、水彩画、蜡画、陶瓷或版画都适合表达数学思想。知识渊博的观众会从无数数学瑰宝中辨别出这些作品的灵感，例如斐波那契数、毕达哥拉斯定理、整数因数分解、17种壁纸群、无穷大的概念等等。
我经常对这些场馆中展出的一些新作品印象深刻，但我们必须清楚，世界一流的美术馆或高价拍卖行对这些努力并不感兴趣。产生这种数学/艺术的社区本身就是最热情的观众。人们一定想知道为什么。
显然，在我们的文化中，有些艺术品比其他艺术品更难欣赏。众所周知，二十世纪的视觉艺术和音乐对某些人来说是不透明的，通常需要受过更多教育的眼睛或耳朵。传统欧洲学术艺术或印象派的爱好者可能会与立体主义、达达主义、表现主义或更前卫的概念艺术划清界限。当艺术开始需要更积极的精神参与时，马克斯·比尔（Max Bill）、索尔·勒维特（Sol Lewitt）和埃舍尔（M. C. Escher）等二十世纪的艺术家将数学思想融入到他们的作品中。
图6《颠倒世界，耶路撒冷》
Anish Kapoor（安尼什·卡普尔），《颠倒世界，耶路撒冷》（ Turning the World Upside Down, Jerusalem）
这座巨大的不锈钢雕塑经过高度抛光，达到镜面效果。一位数学家想知道它是否是一个精确的双曲面，如果是，那么这样的二次曲面可能会显示出什么光学特性。有趣的是，安装在耶路撒冷的镜子的倒转效果确实显示了地球上的天堂（反之亦然）。
图源：Avishai Teicher / CC-BY-3.0
如果没有适当的教育，数学艺术是否可能太难理解？包含凯莱表的可视化参考资料的被子对于非数学观众来说可能在主题上难以理解，就像一幅女人抱着天鹅的古典绘画对于不熟悉罗马神话的观众来说一样。鉴于“我不懂数学”这种刻板印象在我们的文化中并不罕见，人们很容易认为这个内容问题限制了数学/艺术的受众。虽然某些数学艺术的灵感确实不能被所有人所欣赏，但这并不是故事的全部。首先，即使是许多能够理解数学思想的专业数学家也不会被数学/艺术社区的作品所吸引。其次，即使观众不熟悉神话故事，《丽达与天鹅》的古典绘画也可能因其感性的曲面、正式的构图或精湛的笔触而被广泛欣赏为艺术。同样，人们期望有价值的数学艺术因其形式、工艺、美学或其他属性而被认可，即使分析性理解需要解释。因此，不熟悉的数学参考资料并不是这里的主要困难。
我认为，数学/艺术世界中更大的问题是，我们的艺术展览和出版物中呈现的大部分内容并不是真正的“美术”。当然，如果没有艺术的正式定义，我无法严格支持这一主张。但通过观察公认的艺术权威：博物馆、画廊、拍卖行和大学艺术系等美术机构，这显然是合理的。可悲的事实是，这些组织的专家都没有赶来参加我们的数学艺术展览并对他们的发现留下深刻的印象。我们必须承认，就他们文化上所接受的艺术观念而言，还缺少一些东西。
图7《针塔》
Kenneth Snelson（肯尼思·斯内尔森），《针塔》（Needle Tower）
Snelson 通过一系列模块征服了无限，这些模块沿着 26 米雕塑的高度按比例变小。观看者将它们误解为相同，因此将结构想象为延伸到消失点。在这种“张拉整体”（tensegrity）设计中，压缩元件永远不会相接触，从而上梁的重量沿着交替的压缩和拉伸元件链支撑。图源：Hirshhorn Museum
这个判断证实了我的观点，即桥梁会议、JMM展览以及数学/艺术界的许多出版物中展示的作品主要是工艺、设计、模型和可视化，而不是美术。但这并没有什么问题。一件有趣且原创的物品可能会被视为工艺品而不是艺术品，因为它可以由有能力的工人按照分步说明进行复制。它可能被认为是设计而不是艺术，因为它是数字打印的图形或由 3D 打印机器人制造的。它可能被认为是模型而不是艺术，因为它展示了休闲工艺并且似乎最适合教育。它可能被认为是可视化而不是艺术，因为它的起源是作为解释技术细节的辅助手段。这些特征不会使物品在我们的社区中变得不那么有趣或不那么有价值，但它们可能会使物品远离公认的美术概念。
为了解决这些问题，也许我们所说的“艺术展览”应该更名为“数学艺术、工艺、设计、模型和可视化展览”。这可以方便地涵盖整个集合，而不必具体定义单个项目。除了自我诚实的任何好处之外，这个标签可能会帮助我们在任何认为我们的数学/艺术低于他们的艺术标准的美术社区面前显得更加谦虚。一个不愿意在“艺术”标题下展示我们作品的场所可能会很乐意展示它，如果标签不那么浮夸的话。
图8《单一主题的十五个变体，（变体 1）》
Max Bill（马克斯·比尔），《单一主题的十五个变体，（变体 1）》Fifteen Variations on a Single Theme, (Variation 1)
在一系列石版画中，马克斯·比尔探索了基于正多边形嵌套序列的构造，从八条边减少到三条边，同时共享一个共同的边长。喜欢数学的观众会想要找出确定每个多边形哪一条边附着在下一个多边形的规则。图源：Daniel Jacobino / CC BY-NC-SA 2.0
艺术家通常旨在向观众传达一些东西。在当代美术中，传达的信息通常是社会或政治观点，艺术家敢于突破界限，说出别人听不到的真理。数学/艺术的特点是比较温和。我们的艺术家陈述通常表明有兴趣通过形式或审美吸引力来传达数学真理。我们的展览和出版场所促进创意作品的分享，为特定的受过良好教育的社区提供信息和启发。如果这些内容没有被更广泛地接受，那么可能有人会说我们需要找到一种方法来加强和澄清我们的信息，因为数学艺术家当然拥有丰富的迷人原材料作为智力灵感。任何特定的作品是否符合任何人对“美术”的特定概念，与社区渴望创造艺术并传达数学奇迹的更大目标无关。我真的很高兴能成为这个社区的一员，这个社区真诚地致力于创造新的艺术形式，并在这一努力过程中相互支持。
所有文化都找到了将数学和艺术结合起来的方法，无论是沿着古代粘土容器边缘手工捏制的带状图案，还是由塑料聚合物激光切割而成的算法生成的非周期性单铺片镶嵌图案（参阅
小乐数学科普：密铺的深层数学——来自量子杂志资深数学作家Jordana Cepelewicz的讲解 ）。数学和艺术是人类的重要组成部分。它们是沟通和理解世界的强大语言和工具。因此，我们的数学爱好者和专业数学家社区正在开发反映我们自己的兴趣和文化的艺术，这是非常自然的。数学艺术中的主题通常体现了多年来为数学思想家带来欢乐的模式和结构。
数学之所以有吸引力，是因为在严格的推理和清晰的理解中可以找到乐趣。我相信数学艺术在我们的社区中取得了成功，因为它以各种方式暗示了这些相同的乐趣。当艺术模仿性地暗示某些柏拉图世界中的物体和关系时，那些在那个领域花费了足够时间来理解参考资料的观众可能会唤起这些乐趣。对于非数学家来说，一幅简单地描绘三角形或数字零的绘画似乎有一个“数学”主题，但这种孤立的参考资料不太可能深入到逻辑关系图以唤起任何乐趣。在受过数学教育的观众中。作为数学艺术的艺术必须让人想起数学乐趣的风景。
图9 瓷砖平铺
来自西班牙格拉纳达阿罕布拉宫的瓷砖平铺
镶嵌和饰带图案是许多文化中几何艺术的主要内容。这个 14 世纪或 15 世纪的例子说明了所谓的 333 轨形（orbifold）类型（按Thurston-Conway表示法），因为存在三种不同类型的 3 重旋转中心。
图源：Roberto Venturini / CC BY 2.0
我们社区中产生的作品（我称之为工艺、设计、模型和可视化）也唤起了这些数学景观。这是我们创建它们的动机的一部分，并有助于解释为什么我们是自己最好的观众。这些物品的创建通常还有另一个目的：教育。我们中的许多人都是老师，习惯于利用一切机会分享我们的知识。数学/艺术经常被用作吸引学生学习新主题的东西。当他们投入情感后，数学对话是老师温和地介绍技术细节的自然方式。如果一个人对“美术”的定义要求它是非功能性的，那么这种功利主义的起源似乎就排除了这些物体成为艺术的可能性，但没关系，因为这种教学的数学/艺术仍然可能具有启发性、吸引力和发人深省。
因此，数学/艺术可能不是数学的一个形式化分支，它实际上也可能不是艺术，在这种情况下，它可能是数学和艺术之间出现的一门独立的学科。桥梁会议在数学和艺术之间架起的“桥梁”最好被形象地想象为在两片土地之间升起的一座火山岛停留站。这片土地上的居民正在发展一种具有自身内在逻辑的文化、传统和工作主体，并培育出一个尚未完全整理的混合品种的花园。我们都应该陶醉于这种绽放，即使其中只有一小部分达到了“艺术”的水平。
我鼓励每个人都以艺术创作为目标，尤其是数学家。感受到创造的乐趣是非常有益的。这是一种真实的自我表达形式，可以让你发现自己内心的事物，并为你提供与新观众沟通的强大渠道。数学家尤其擅长以原创艺术形式表现出令人着迷的想法。当然，这说起来容易做起来难，因为存在许多概念、材料和表达方面的挑战，但数学家擅长解决难题。我希望任何喜欢创造性数学的人也会喜欢探索他们同样具有创造力的某些艺术领域。一路上，你可能会问自己“这真的是艺术吗？”并尝试给出一个答案。当你推动自己提高艺术水平时，制定你自己的数学艺术宣言的细节。
对我来说，创作雕塑是一种冲动。我可能会试图将其合理化为教育性的，我可能会很高兴收到有鉴赏力的观众的善意的话，我可能会享受销售的利润，但我这样做是一种强迫行为。这是一种缓解某些内在需求的疗法。我对数学艺术的确切本质感到困惑，但我不需要一个正式的框架来知道，设想新设计并将其变为现实在某种程度上是难以言表的。当一个人的思想变得清晰，迷雾变得清晰时，完成一件新雕塑就像解决一个难题一样令人满足。
对我来说，数学是巨大的智力乐趣的源泉，需要尽可能广泛地分享，而艺术是人类的最高意志。艺术可以提升精神或引发内省，因为它传达了更深层次的含义。一个丰富的艺术世界处处充满想法和灵感。我相信，随着社会的发展，越来越多的人将能够自由地创作艺术。作为一种基本的人文主义表达，艺术的范围需要通过数学家的观点来丰富。那些走过数学土地的人都有独特的故事来讲述他们的发现以及他们现在看待世界的方式。随着越来越多的数学家投身于艺术创作，我期待着品尝这些故事。随着例子的增加，这些讨论将继续下去，各种组织原则将开始涌现，我们对数学艺术的理解只会更加成熟。
参考资料
[-1] https://www.georgehart.com/sculpture/Solar-Flair/solar-flair.html
[0] https://www.ams.org/journals/notices/202404/noti2920/noti2920.html
[1] Thomas Adajian, The Definition of Art, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, E. Zalta (ed.), https://plato.stanford.edu/archives/spr2022/entries/art-definition/
[2] Joint Math Meetings Art Exhibition, http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions
[3] The Bridges Conference paper archive and exhibitions, https://www.bridgesmathart.org
[4] The Journal of Mathematics and the Arts, Taylor and Francis, 2007–present, https://www.tandfonline.com/toc/tmaa20/current
[5] MAA SIGMAA-ARTS website, http://sigmaa.maa.org/arts/
[6] ICERM, Illustrating Mathematics, https://icerm.brown.edu/programs/sp-f19/
[7] Frank A. Farris, Mathematical art as a discipline, Notices Amer. Math. Soc. 68 (2021), no. 6, 980–986, DOI 10.1090/noti. MR4270412
[8] Satyan Devadoss and Diane Hoffoss, Unfolding Humanity: Mathematics at Burning Man, Notices Amer. Math. Soc. 66 (2019), no. 4, 572–575
[9] For a related initial effort from a maker’s perspective, see Aaron Abrams et al., Mathematical Makers’ Manifesto, Notices Amer. Math. Soc. 67 (2020), no. 5, 615
[10] Lynn Gamwell, Mathematics + art: A cultural history, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2016. With a foreword by Neil deGrasse Tyson. MR3445193
[11] Haixia Liu, Raymond H. Chan, and Yuan Yao, Geometric tight frame based stylometry for art authentication of van Gogh paintings, Appl. Comput. Harmon. Anal. 41 (2016), no. 2, 590–602, DOI 10.1016/j.acha.2015.11.005. MR3534452
[12] Jerry P. King, The art of mathematics, Plenum Press, New York, 1992, DOI 10.1007/978-1-4899-6339-0. MR1158460
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