一、鸟头（共角）模型推理
两个三角形中有一个角相等或互补，
特点：
有相等的角或共同的角或有互补的角，
图①，角DAE与角BAC是共同的角，
图②，角EAD与角BAC是相等的角，
图③，角EAD与角BAC是互补的角，
图④，因为角EAD与DAC都是90度角，所以角EAD与角BAC是互补的角。
两个三角形面积比等于对应角两夹边的乘积之比
△ADE与△ABE，以AD和AB为底边，
高都是EF相等，为等高三角形;
△ABE与△ABC，以AE和AC为底边，
高都是BC相等，为等高三角形;
等高三角形面积比等于底边比，
△ADE与△ABE为等高三角形，面积比等于底边比：
S△ADE:S△ABE=AD:AB,把它看为①式，
同理，
△ABE与△ABC是等高三角形，面积比等于底边比：
S△ABE:S△ABC=AE:AC,把它看为②式,
我们把①式乘②式，
左边乘以左边等于右边乘以右边，
再约分一下，就是，
S△ADE:S△ABC=AD:AB × AE:AC
“小”表示小△ADE面积，“大”表示大△ABC面积
得出结论如下：
二、风筝模型推理
就是任意四边形对角线交叉的图形，形状像风筝。
它们的比例关系，
把四边形ABCD分成，由上半部分三角形，和下半部分三角形组成，
上半部分：
以BE和ED为底边，高h1，△ABE与△ADE为等高三角形
等高三角形面积比等于底边比，S1:S2=BE:ED
上半部分:
以BE和ED为底边，高h2，△CBE与△CDE为等高三角形，
等高三角形面积比等于底边比，S3:S4=BE:ED
我们把它结合起来，BE:ED=S1:S2=S3:4，
根据比例的性质，外项乘外项，等于内项乘以内项，
S1×S4=S2×S3，也就是，左×右＝上×下，
交叉相乘积不变。
三、蝴蝶模型推理
蝴蝶模型就是梯形对角线交叉的图形，或一组对边平行的风筝模型，形状像蝴蝶
同风筝模型原理，
S1×S4＝S2×S3，
左三角形面积×右三角形面积＝上三角形面积×下三角形面积，
左×右＝上×下，
交叉相乘积不变，
翅膀面积相等，
我们把图形分成四块，小、中、中、大，
△ADC与ADB为等底等高，'小'部分为公共部分，所以左中＝右中，左右翅膀相等，
以AC边为底，△AOD与△COD为等高三角形，
面积比等于底边比，所以，AO:CO＝小:中,
以AC边为底，△AOB与△COB为等高三角形，
面积比等于底边比，所以，AO:CO＝中:大，
等量关系，AO:AC＝小＋中：中＋大，
同样：
以BD边为底，△AOD与△AOB为等高三角形，
面积比等于底边比，所以，DO:BO＝小:中,
以BD边为底，△COD与△COB为等高三角形，
面积比等于底边比，所以，DO:BO＝中:大，等量关系，DO:BO＝小＋中:中＋大，
等高关系，△ABD面积:△CBD面积＝小＋中:中＋大＝AD:BC，
面积份额关系：
假设上底AD为a，下底为BC为b，
小:中=中:大=a:b，
小△与大△为相似三角形，面积比等于对应边平方比，
小:大=a平方:b平方，
小=a平方(份),大=b平方(份)，
小:中＝a平方:中＝a:b, 得到，中=ab(份)，
梯形面积＝a平方+b平方+2ab=(a+b)平方(份)，
面积(份额比)，
上:下:中:梯形=a平方:b平方:2ab:(a+b)平方，
四、沙漏模型推理
蝴蝶模型去掉两边的翅膀就是沙漏模型。
两条平行线段端点交叉相交，形成的上下两个三角形，样子像沙漏就
上下两条线段平行，ABCD四个端点交叉相交于O点，形成上下两个三角形，
同蝴蝶模型原理，
只少了两个翅膀，它们的比例关系也与蝴蝶模型一样，
边与边的比例关系：
AD:BC=AO:CO=DO:BO=a:b=h1:h2
面积之间的比例关系:
上下三角形是相似三角形，
相似三角形面积比等于对应边的平方比，
所以，上三角形面积:下三角形面积=a平方:b平方
五、金字塔模型推理
金字塔模型就是两个相似三角形重叠在一起的图形，样子像金字塔。
如图一大一小两个三角形，小三角形与大三角形为相似三角形，
把它们重叠在一起，组成一个新的图形，样子像埃及金字塔。
金字塔模型就把沙漏模型变动一下，把沙漏模型上面的三角形旋转180度
原理与沙漏模型原理都差不多。
大小三角形是相似三角形，所以对应边的比例相等。
边与边之间的比例关系：
AD:AB=AE=AC=DE=BC=AO:AF=a:b
DE//BC,平行线分割的长短边比例关系：
AD:BD=AE:EC=AO:OF，
大小三角形面积之间的比例关系:
大小三角形是相似三角形，相似三角形面积比等于对应边的平方比，
小:大=a平方:b平方，
六、燕尾模型推理
三角形的三个顶点向对边的连线交于一点，形状像燕子的尾巴。
如图三角形ABC,三个顶点向中间O点连线，
左边为左燕尾，右边为右燕尾，形状像燕子尾巴。
面积与边比例关系：
以AF为底边，△ABO与△OBF为等高三角形，面积比等于底边比，S1:S3=AO:OF
△AOC与△OFC为等高三角形，面积比等于底边比，S2:S4=AO:OF,
比例关系也等于，S1+S2:S3+S4
以BC为底边，S3与S4为等高三角形，面积比等于底边比，S3:S4=BF:FC,
以AF为底边，作三角形S1与S3的高h1,作三角形S2与S4的高h2,
以AO为底边，S1和S2，为等底三角形，面积比等于高之比，S1:S2=h1:h2
以OF为底边，S3与S4，为等底三角形，面积比等于高之比，S3:S4=h1:h2
燕尾模型面积与边的比例关系,S1:S2=S3:S4=BF:FC,
左右燕尾比=左右底边比。
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