验除法:2848÷16=178
1+7+8=16横加1+6=7，7×7=49横加4+9=13
13–9=4
被除数2848横加2+8+4+8=22横加2+2=4，最后结果都为4。商数横加去九乘除数横加去九=被除数横加去九。
验乘法:横加弃九，以等号为界限，把数字横加起来，加到一位数为止，有九就去掉。
25×25=625
25横加(2+5）=7 25横加(2+5)=7
7×7=49
49去9还剩4
625横加(6+2+5)=13
13去9=4 或13横加(1+3）=4都余4，两边相等。
验加法:方法同于乘法，只是加法相加
75+69=144
①7+5=1+2=3 ②69去9剩6
①+②:3+6=9等号前面为9
等号后面为9
验减法
减法同于乘法，不同的是，有时被减数连加去九后不够减，不够时可加一个九再减
98–86=12
①98去9剩8 ②86横加为14横加为5
①–②:8–5=3等号前面为3 ③12横加为3等号后面为3
立方和简易方程
求十几的立方:先用1000加上个位数的立方，再用这个和加上十几乘以它的个位数的30倍。
13³=1000+27+13×3×30=4096
求几十一的立方:先用十位数的立方的1000倍加1，再用这个和加几十一乘它的十位数的积的30倍。
21³=8000+1+21×2×30=9261
求十位和个位相同的两位数的立方
用这个数的十位数的立方与1331相乘
22³=1331×8=10648
任意两数立方
⑴可先将这个数化成靠近它的整十数
原数小于整十数，将整十数作被乘数，以原数的平方减去原数与差数的积加上差数的平方作乘数，再在所得积上减差数的立方，即是得数。
28³=(28+2）×(28–28×2+2²）–2³=21952
原数大于整十数:将整十数作被乘数以原数的平方加上它与差数的积，再加上差数的平方加上它与差数的积，再加上差数的平方所得的和数作乘数，最后加上差数的立方。
43³=(43–3）×(43²+43×3+3²）+3²=79507
方程:含有未知数的等式。只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程叫一元一次方程，也称简易方程。方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
如:X =3，是8–X =5的解。
同解方程，两个方程的解完全相同，这两个方程就叫做同解方程。8–X =5。7+X =10，这两个方程就是同解方程，它们的解都是3。
方程的基本性质:
⑴在方程左右两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程。
⑵在方程的左右两边同时乘除同一个不为0的数，所得方程与原方程是同解方程。
解方程就是根据方程的基本性质和四则运算中各部分之间的关系将比较复杂的的方程简化变形，使较为复杂的方程逐步变成原方程的简单同解方程，最后得到原方程中未知数的值。
⑴根据加减乘除四则运算的各部分关系解方程:8X –2=70的解根据减法算式各部分的关系 被减数=减数+差。则有:8X =70+2；再根据乘法 因数=积÷另一个因数。则有=72÷8所以，X =9代入方程:左边=8X –2=72–2=70，右边70。两边相等，X =9是原方程的解。
求方程3X =28–13的解
3X =28–13，X =5
检验:将X =5代入原方程，左边3×5=15，右边=28–13=15
左右两边相等，所以X =5是原方程的解。
⑵根据方程的基本性质求方程的解。
7X +8=50的解
根据其性质，在这个方程的两边同时减去8，即得到一个比原方程简单的同解方程:7X =42
再根据其性质，在方程7X =42的左右两边同时除以7，就又得到一个更简单的同解方程:X =6
⑶解多步运算的方程。先将多步运算方程转为一步运算的方程，再求出其方程的解。
⑷分式方程的解法。
分母中含未知数的方程是分式方程。解分式方程的一般方法就是方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。然后解这个整式方程，最后把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是0，使最简公分母为0的根是原方程的增根，必须舍去。
要领之妙
题型:两数和与它们的差相乘(a+b )×(a –b ）=
a ²–b ²
题型:几十几乘几十几，两首之积添两0，首尾、尾首交互乘，所得之和添一个0，再加两数尾相乘。
62×54=6×5×100+(6×4+5×2）×10+2×4=3348
几十几乘十几首数首乘尾数尾，加上首数再10倍，再加两尾相乘积，欲求之数无不对。
23×14=(2×4+23）×10+3×4=322
一般算法 ， 两首之积添两0，两首之和与尾乘，所得之积扩10倍，再加两数尾相乘。
24×64=2×6×100+(2+6）×4×10+4×4=1536
个位是5，十位相同，两数相同个5，末尾定是25，数首加1乘数首，紧挨再写25。
35×35=(3+1）×3×100+5×5=1225
个位是9，几十九乘几十九，凑成整10再动手，凑整积减凑整数和，最后加1积便有。29×39=30×40–(30+40）+1=1131
十位互补，首数首乘尾数首，加上数尾再100倍，再加数尾自乘积，欲求之数无不对。
67×47=(6×4+7）×100+7×7=3149
一般算法，首数加上尾数尾，得数再乘整十倍，再加两尾相乘积，欲求之数无不对。
57×59=(57+9）×50+7×9=3363(首数是几，就乘几十倍）
十位是1，头乘头，尾相加，尾乘尾。
十位是5，个位相同。数首自乘加数尾，数尾自乘紧相挨。53×53=(5×5+3）×100+3×3=2809
个位互补。首加1与首乘，再乘100要当心，加上两个数尾积，所求之数便分明。
72×78=(7+1）×7×100+2×8=5616
比100多几的两数相乘。首数加尾数尾，得数扩大100倍，再加两尾相乘积。
103×105=(103+5）×100+3×5=10815
十一至十九的妙方法，头乘头，尾相加，尾乘尾。该进位的进位，也适用于十几的平方。
12×14=168，①1×1=1，②2+4=6，③2×4=8。
本方法还适合用于1200×13000……0.12×0.14等小数点后加几个0和数字后加几个0的题型，都可以计算。
首加1的好方法，头加1后，头乘头，尾乘尾。本方法必须是头相同尾互补的题型，22×28、34×36、63×67、81×89，也就是两个十位数相同，两个个位数相加得10的题型；若头不同尾不补用51页的方法。
两位乘两位:个位相乘，不够两位用0充位。21×29、31×39……都要用0充位。
本算法适合用于头相同，尾互补的题。
23×27=621，①(2+1）×2=6，②3×7=21
被乘数互补，乘数相同类型题快捷。必须是被乘数互补，乘数相同的题型，在互补数(被乘数)上头加1后，头乘头，尾乘尾。
头乘头为前积，尾乘尾为后积，该进位进位。
头加1后，头乘头，尾乘尾。
37×44=1628，①4×4=16，7×4=28
几十一乘几十一的快方法，头乘头，头相加，尾乘尾。够进位的进位21×41=861
十一乘任意数，首数不动下落，中间之和下拉。该进位的进位。
十几乘多位数，乘数首数不动下落，本位加倍加下位。被乘数是十几，就加几倍，15加5倍，18加8倍，该进位进位。
⑴12×231=2772，①2×2+3=7，②3×2+1=7，③1×3=3。2+①+②+③=2772。
以12为基准，首数不动，上位乘倍加下位，满十要进位。
以11、12、13……为基准，上位乘倍加下位，满十进位，以此类推。
补数之妙，两数之和等10、20、30、……100、300等整数的，将两个数称为指示数。
正指示数:当原数是小数码时，为减少加补数的次数，直接用小数码作为正指示数。当被乘数为小数码时，加补数的次数增多，计算起来比较麻烦，为解决这个问题，我们按数码的大、中、小分为三数进行计算。大数码:7、8、9，中数码:4、5、6，小数码:1、2、3
98×75=7350补数为25，指示数为2。大数码指示数小，直接用加减补数
98×75=98×100–25=7350
45×78=45×100–22×50+22×5=4500–45×100–1100–50×22+110–5×22=3510因为是中数码，就以每步计算都有用1、2、5倍数法进行计算。45指示数为5，78补数为22，半数11。
12×64=12×100–12×36=1200–(10×36+2×36）=768，实际就是用整数的乘积减12个补数。要用这个小数码作为正指示数，指示数为正指示数12，补数36。
几个九乘任意同位数的妙法，乘数减1连补数。99、999、9999、99999乘任意不同位有方法。
9999×8756=87551244，①8756–1=8755，②9999–8755的连补数是1244
1.98×7=13.86，198是9的倍数，都可用补数的方法一加一减求得数。6是3的倍数，3是7的补数。①1.98+0.02=2，10–7=3，2×3=6；②1.98–6+6=13.86，
九的倍数乘连续数的好方法，头加1后头乘头为前积，中间之数变成头加1那个数，(尾补相乘之积是一位数加0顶位)，尾补乘尾补为后积。
27×4567=123309，①头加1后乘头:3×4=12
②中间有多少位都不用管，都是头加1那个数:33
③尾数补乘尾补3×3=9
尾补相乘之积是1位时(加0顶位)
首数是5，头乘头加尾之和的一半为前积，尾乘尾为后积。
53×54=2862，①5×5=25，②25+(3+4）÷2=28.5，③3×4=12，②③两积连起来得数2862，小数点为虚设，个位排在个位后。
尾数是5，求出两首之积再加上两首之和的一半为前积，再把尾5的自乘数作后积，就是应求得数。65×85=5525，①6×8=48，头乘头；②(6+8)÷2=7，两首之和的一半；③28+5.5=33.5，头乘头加两首之和的一半为前积；④5×5=25，尾自乘为后积。前积有小数时，将其加在后积十位，其和满10进位。
尾同首互补，头乘头加尾为前积，尾乘尾为后积。42×62=2604，①4×6+2=26；②2×2=4；①和②连起来，尾乘尾是1位时，前面加0顶位。
尾同首排互补的乘法，头乘头加尾为前积。尾自乘为后积。两积连起来后，再看两个头之和比10大几或小几，比10大几就加几个尾数，小几就减几个尾数。加减位置:一位数十位数加减，两位数百位加减。
73×53=3869，①7×5=35，头乘头；②35+3=38，头乘头后加尾；③3×3=09，尾乘尾之积是一位数时前加0顶位；④7+5=12比10大2，2×3=6，一位数在十位加。②+③+④=3869
36×56=2016，①3×5+6=21，头乘头加尾；②6×6=36，尾乘尾；③3+5=8比10小2，减2×6=12，两位数在百位减；①+②–③=2016
首位同是九，一数减另一补数为前积，两补数积为后积。两补相乘是个位时，前加零顶位。
93×98=9114，①93–98的补数2=91为前积；②93的补数7与98的补数2相乘之积，为后积，7×2=14。
9的倍数乘法，凡是九的倍数，都可用补数计算。用一位补数去乘任何数都好算，得出积来，错位相减即得到乘积。36×625=(36+4）×625–4×625=22500
一数都是九乘任意数的乘法，减一加补(在不是九的因数的位置减1，后位加补)当一个因数都是9的时候其算法是:在不是9的因数的末尾减1，后位加补。
99×82=82–1+18=8118
两个因数位数不同，当较小的因数完全由数字9组成时，在较大因数的位置减1，在减1的下位加补，减1的位置由两因数的位数差决定，差一位，减数就向左移一位，差两位就向左移两位去减。
8276×999九的因数比另一因数差一位，向左移一位减1，8276，十位减一1=8266+1724=8267724，在减1的下位加补。
两因数位数不同，当较大的因数完全由9组成时，可先将较小的因数后加0，将位数补齐，然后按减1加补计算。
786×9999
将786后补一个0，7860，而786的补数为214，则有7860–1+214=7859214
十几乘几十几的方法，大数头乘小数尾加大数为前积，尾乘尾为后积。17×38=646，①7×3+38=59，②7×8=56，排积序，个位排在个位后。
平方快算，任意两位数平方。头乘头为前积，头尾积加倍为二积，尾乘尾为三积。
23²=529，23×23，2×2=4，2×3×2=12，3×3=9。排积序个位排在个位后，429，百位加1=529
任意两位妙法，头乘头为前积，头尾交互乘之和为中积，尾乘尾为后积。个位相乘数不够十位时，前面用0代替十位。该进位的进位。①3×4=12，头乘头；②2×6=12，尾乘尾；③3×6+2×4=26，头尾交互乘积之和为中积。排积:1212=1472，个位排在个位后。
一百零几乘一百零几，首数不动，尾数相加，尾相乘，连起来。
104×108=11232
①首数不动，1；②4+8=12，尾相加；③4×8=32，尾相乘。
两个任意三位数相乘，头乘头为一积，头中交互乘之和为二积，头尾交互乘之和加中位之积为三积，中尾交互乘之和为四积，尾乘尾为五积。385×356=137060
①3×3=9，头乘头为一积；②3×5+3×8=39，头中交互乘之和为二积；③3×6+3×5+8×5=73，头尾交互乘之积加中位之积为三积；④8×6+5×5=73，中尾交互乘之和为四积；⑤5×6=30，尾乘尾为五积。排积，个位排在个位后，
3 7 7 3
9 9 3 3 0
三位乘两位的乘法，485×37变为485×037
①头乘头为第一积，4×0=0；②4×3+0×8=12，头中交互乘之和为二积；③4×7+0×5+8×3=52，头尾交互乘之和加中位之积为三积；④8×7+3×5=71，中尾交互乘之和为四积；⑤5×7=35，尾乘尾为五积，个位排在个位后， 1 5 7 3
0 2 2 1 5=17945
我国古代有一市斤等于16两的斤两换算法，叫作袖里吞金法、速算法，也就是以两求斤的换算。
1÷16=0.0625，2÷16=0.125，3÷16=0.1875，4÷16=0.25，5÷16=0.3125，6÷16=0.375，7÷16=0.4375，8÷16=0.5，9÷16=0.5625，10÷16=0.625，11÷16=0.6875，12÷16=0.75，13÷16=0.8125，14÷16=0.875，15÷16=0.9375。
口诀:一零六二五 二一二五 三一八七五
四二五 五三一二五 六三七五 七四三七五
八五 九五六二五 十六二五 十一六八七五
十二七五 十三八一二五 十四八七五 十五九三七五
八卦的二进制原理设计，按此程序填入卡内。经确认，其编码将反映在卡的左上角，再经连加计算，即可报出。如某人确定4、5、6号卡中有年龄，编码反映为4、2、1，将其连加起来4+2+1=7，7就是此人的年龄。
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
4 5 6 7 12 13 14 15
20 21 22 23 28 29 30 31
36 37 38 39 44 45 46 47
52 53 54 55 60 61 62 63
2 3 6 7 10 11 14 15
18 19 22 23 26 27 30 31
34 35 38 39 42 43 46 47
50 51 54 55 58 59 62 63
1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63
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